Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/C9

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Enunciado

Um fluido viscoso flui entre duas placas paralelas separadas por uma distância H = 4 mm. A velocidade em cada ponto é dada pela equação

$\overrightarrow{v}=v_1\frac{z}{H}{\overrightarrow{u}}_x$

onde v₁ = 4 mm/s. Tinta é jogada sobre o líquido em t = 0 de maneira a formar uma cruz, com braços de comprimento L = 2 mm, e com um dos braços paralelo às placas. Calcular

• a posição do desenho em t = 1.5 s
• a taxa de deformação angular
• a taxa de rotação de uma partícula de fluido nesse fluxo

Solução

Como v tem a direção do eixo X, não haverá movimento vertical. Considerando a origem dos eixos coordenados na placa inferior, o centro geométrico do desenho é colocado em t = 0 na posição P(x(0),y₀,H/2). Em t = 1.5 s ele estará na posição

$x_c(1.5)=x_c(0)+\mathrm{\Delta }{x}_c=x_c(0)=v_x\left(\frac{H}{2}\right)\mathrm{\Delta }t=x_c(0)+v_1\frac{\frac{H}{2}}{H}\mathrm{\Delta }t$

$x_c(1.5)=x_c(0)+4mm/s\cdot \frac{1}{2}1.5s=x_c(0)+3mm$

Todos os pontos sobre o braço paralelo às placas sofrerão o mesmo deslocamento de 3mm. Já o ponto do braço transversal às placas localizado mais próximo à placa inferior é colocado em t = 0 na posição P(x(0),y₀,H/2 - L/2). Em t = 1.5 s ele estará na posição

$x_i(1.5)=x_i(0)+\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i(0)=v_x\left(\frac{H-L}{2}\right)\mathrm{\Delta }t=x_i(0)+v_1\frac{(H-L)}{2H}\mathrm{\Delta }t$

$x_i(1.5)=x_c(0)+4mm/s\cdot \frac{(4mm-2mm)}{2\cdot 4mm}1.5s=x_c(0)+1.5mm$

E o ponto do braço transversal às placas mais próximo à placa superior é colocado em t = 0 na posição P(x(0),y₀,H/2 + L/2). Em t = 1.5 s ele estará na posição

$x_s(1.5)=x_s(0)+\mathrm{\Delta }{x}_s=x_s(0)=v_x\left(\frac{H+L}{2}\right)\mathrm{\Delta }t=x_s(0)+v_1\frac{(H+L)}{2H}\mathrm{\Delta }t$

$x_s(1.5)=x_c(0)+4mm/s\cdot \frac{(4mm+2mm)}{2\cdot 4mm}1.5s=x_c(0)+4.5mm$

O objeto, portanto, sofre uma deformação, e o ângulo entre os braços diminui de 90° para

$\tan \theta =\frac{\frac{L}{2}}{\mathrm{\Delta }{x}_s-\mathrm{\Delta }{x}_c}=\frac{2mm}{2(4.5mm-1.5mm)}=0.33$

e, além disso, um dos braços é esticado. A taxa de deformação angular será

$\frac{d}{dt}{\alpha }_Y=\frac{\partial v_x}{\partial z}+\frac{\partial v_z}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial z}\left(v_1\frac{z}{H}\right)=\frac{v_1}{H}=\frac{4mm/s}{4mm}=1.0s^{-1}$

A taxa de rotação será

${\omega }_y=\frac{1}{2}(\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x})=\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial z}\left(v_1\frac{z}{H}\right)=0.5s^{-1}$