Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/C6

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Enunciado

Ar ingressa num compressor a uma velocidade de 0.01 m/s, pressão de 1 atm e temperatura de 25 °C e deixa-o a pressão de 3 atm e a uma temperatura de 50 °C, através de uma abertura de 30 cm². Calcular a taxa de transferência de calor se a vazão mássica é de 10 kg/s e a potência do compressor é de 600 HP.

Dados do problema

vi	0.01 m/s
pi	1 atm
Ti	25 °C
pf	3 atm
Tf	50 °C
Af	30 cm2
Φm	10 kg/s
P	600 HP
dQ/dt	a calcular

c_p = 1000 J.kg^-1.K^-1

R_e = 290 J.kg^-1.K^-1

Solução

Como neste problema temos um eixo que realiza trabalho, deve-se usar a seguinte forma da equação da primeira lei da termodinâmica:

$\frac{dQ}{dt}+\frac{d{W}_{\mathrm{\Omega }}}{dt}+\frac{d{W}_{\tau }}{dt}+\frac{d{W}_{outro}}{dt}=\frac{\partial }{\partial t}\underset{C}{\int }\rho (u+\frac{v^2}{2})dV+\underset{S}{\int }[\rho (u+\frac{v^2}{2})-\sigma ](\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S})$

Escolhendo-se o volume de controle em torno do compressor, com a superfície de controle perpendicular ao fluxo, desprezando-se os efeitos da viscosidade e considerando que a energia se distribui uniformemente pelo compressor, teremos

$\frac{dQ}{dt}+P+0+0=0+\underset{S}{\int }[\rho (u+\frac{v^2}{2})+p](\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S})$

$\frac{dQ}{dt}+P=\underset{S}{\int }(u+\frac{p}{\rho }+\frac{v^2}{2})\rho (\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S})$

o que mostra por que essa forma da equação é a mais conveniente no caso presente.

A energia interna u é em parte termodinâmica e em parte gravitacional (u = u_t + gz). Introduzindo a grandeza entalpia específica

$h=\frac{H}{m}=\frac{U_t+pV}{m}=\frac{U_t}{m}+\frac{p}{\rho }=u_t+\frac{p}{\rho }$

podemos escrever

$\frac{dQ}{dt}+P=\underset{S}{\int }(h+\frac{v^2}{2}+gz)\rho (\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S})$

$\frac{dQ}{dt}=-P+{(h+\frac{v^2}{2}+gz)(\rho vA)|}_i^f$

$\frac{dQ}{dt}=-P+(h_f+\frac{v_f^2}{2}+g{z}_f)({\rho }_f{v}_f{A}_f)-(h_i+\frac{v_i^2}{2}+g{z}_i)({\rho }_i{v}_i{A}_i)$

Mas, da equação de continuidade

$\frac{\partial }{\partial t}\underset{C}{\int }\rho dV+\underset{S}{\int }\rho \overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{s}=0\Rightarrow \frac{\partial m}{\partial t}+{\frac{}{}\rho vA|}_i^f=0$

$0+{\rho }_f{v}_f{A}_f-{\rho }_i{v}_i{A}_i=0\Rightarrow {\rho }_f{v}_f{A}_f={\rho }_i{v}_i{A}_i$

Assim

$\frac{dQ}{dt}=-P+{\rho }_f{v}_f{A}_f(h_f+\frac{v_f^2}{2}+g{z}_f-h_i-\frac{v_i^2}{2}-g{z}_i)$

$\frac{dQ}{dt}=-P+{\mathrm{\Phi }}_m(h_f-h_i+\frac{v_f^2}{2}-\frac{v_i^2}{2})$

Assumindo que o ar obedece à equação de estado do gás ideal, ΔH = C_p ΔT, onde C_p é a capacidade calorífica a pressão constante, e Δh = c_p ΔT, onde c_p é a capacidade calorífica específica a pressão constante

$\frac{dQ}{dt}=-P+{\mathrm{\Phi }}_m(c_p(T_f-T_i)+\frac{v_f^2-v_i^2}{2})$

A equação de estado do gás ideal diz que

$p_f{V}_f=nR{T}_f\Rightarrow p_f\frac{m}{{\rho }_f}=nR{T}_f\Rightarrow {\rho }_f=\frac{p_{f}m}{nR{T}_f}=\frac{p_f{m}_e}{R{T}_f}=\frac{p_f}{R_e{T}_f}$

onde m_e é o peso molecular do gás e R_e = R/m_e é a constante específica para o gás.

Assim, podemos calcular a velocidade v_f:

${\mathrm{\Phi }}_m=v_f{\rho }_f{A}_f\Rightarrow v_f=\frac{{\mathrm{\Phi }}_m}{{\rho }_f{A}_f}=\frac{{\mathrm{\Phi }}_m{R}_e{T}_f}{p_f{A}_f}$

$\frac{dQ}{dt}=-P+{\mathrm{\Phi }}_m(c_p(T_f-T_i)+\frac{(\frac{{\mathrm{\Phi }}_m{R}_e{T}_f}{p_f{A}_f}{)}^2-v_i^2}{2})$

$=-600HP+10kg/s\cdot (1000J\cdot k{g}^{-1}\cdot K^{-1}\cdot (50^{o}C-25^{o}C)+\frac{(\frac{10kg/s\cdot 290J\cdot k{g}^{-1}\cdot K^{-1}\cdot 50^{o}C}{3atm\cdot 30c{m}^2}{)}^2-(0.01m/s{)}^2}{2})$

$=-600\cdot 750W+10kg/s\cdot (1000J\cdot k{g}^{-1}\cdot K^{-1}\cdot 25K+\frac{(\frac{10kg/s\cdot 290J\cdot k{g}^{-1}\cdot K^{-1}\cdot (50+273)K}{300000Pa\cdot 0.0030m^2}{)}^2-(0.01m/s{)}^2}{2})$

$=-450000W+250000W+150000W=-50000W=-67HP$

O valor é negativo porque o calor deixa o volume de controle. Predefinição:AutoCat