Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/B1

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Enunciado

Calcular a pressão no oceano a uma profundidade de 1500 m, considerando a água salgada como um líquido compressível com ε = 21.000 kg/cm² e densidade absoluta de 1025 kg/m³ na superfície.

Dados do problema

ρ0	1025 kg/m3
hf	1500 m
pf	a calcular

ε = 21.000 kg/cm²

Solução

Da definição de módulo de elasticidade volumétrica

$ϵ=-\frac{dp}{(\frac{dV}{V})}\Rightarrow \frac{dV}{V}=-\frac{1}{ϵ}dp$

Como equação de estado, utilizemos a relação ρV = m = constante. Assim, d(ρV) = ρdV + Vdρ = 0, e

$\frac{d\rho }{\rho }=-\frac{dV}{V}=\frac{1}{ϵ}dp$

Integrando, teremos

$\int \frac{d\rho }{\rho }=\frac{1}{ϵ}\int dp\Rightarrow p_f=p_0+ϵ\ln \left(\frac{{\rho }_f}{{\rho }_0}\right)$

Da equação básica

$\frac{dp}{dz}=-\rho g$

tiramos que dp = - ρdz = ρdh, pois vamos considerar h como uma profundidade (h = -z). Assim,

$\frac{d\rho }{\rho }=\frac{1}{ϵ}dp=\frac{1}{ϵ}\rho dh\Rightarrow \frac{d\rho }{{\rho }^2}=\frac{1}{ϵ}dh$

Integrando, teremos

$\int \frac{d\rho }{{\rho }^2}=\frac{1}{ϵ}\int dh\Rightarrow (\frac{1}{{\rho }_0}-\frac{1}{{\rho }_f})=\frac{1}{ϵ}(h_f-h_0)$

$\frac{1}{{\rho }_f}=\frac{1}{{\rho }_0}-\frac{1}{ϵ}(h_f-h_0)\Rightarrow {\rho }_f=\frac{1}{\frac{1}{{\rho }_0}-\frac{1}{ϵ}(h_f-h_0)}$

$\frac{{\rho }_f}{{\rho }_0}=\frac{1}{1-\frac{{\rho }_0}{ϵ}(h_f-h_0)}$

E assim

$p_f=p_0+ϵ\ln \left(\frac{{\rho }_f}{{\rho }_0}\right)=p_0+ϵ\ln \left(\frac{1}{1-\frac{{\rho }_0}{ϵ}(h_f-h_0)}\right)$

$p_f=p_0-ϵ\ln (1-\frac{{\rho }_0}{ϵ}(h_f-h_0))$

$p_f=0-21000kg/c{m}^2\ln (1-\frac{1025kg/m^3}{21000kg/c{m}^2}(1500m-0))=-210000000kg/m^2\ln (1-\frac{1025kg/m^3}{210000000kg/c{m}^2}\cdot 1500m)$

$=1540000kg/m^2=154kg/c{m}^2$ (pressão manométrica)