Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/A2

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Enunciado

Um cilindro contém 356 dm³ de ar a 49 °C a uma pressão absoluta de 2.8 kg/cm². O ar é comprimido até seu volume ser de 70 dm³.

• Supondo que a compressão foi isotérmica, encontrar a pressão final e o módulo de elasticidade volumétrico.

• Supondo que a compressão foi adiabática, encontrar a pressão final, a temperatura final e o módulo de elasticidade volumétrico (considere que o valor do coeficiente de dilatação adiabática do ar é 1.40).

Dados do problema

Vi	356 dm3
Vf	70 dm3
Ti	49 °C
Tf1	49 °C
Tf2	a calcular
pi	2.8 kg/cm2
pf1	a calcular
pf2	a calcular
ε1	a calcular
ε2	a calcular

k = 1.40

Solução

• Compressão isotérmica: Neste caso, podemos escrever

$p_i{V}_i=p_{f1}{V}_f\Rightarrow p_{f1}=\frac{p_i{V}_i}{V_f}$

$p_{f1}=\frac{p_i{V}_i}{V_f}$

${ϵ}_1=-\frac{\mathrm{\Delta }{p}_1}{\frac{\mathrm{\Delta }V}{V}}=\frac{p_i-p_{f1}}{\frac{V_f-V_i}{V_i}}=\frac{p_i-\frac{p_i{V}_i}{V_f}}{\frac{V_f}{V_i}-1}=p_i\frac{1-\frac{V_i}{V_f}}{\frac{V_f}{V_i}-1}=p_{f1}$

Assim

${ϵ}_1=p_{f1}=\frac{p_i{V}_i}{V_f}=\frac{2.8kg/c{m}^2\cdot 356d{m}^3}{70d{m}^3}=\frac{28000kg/m^2\cdot 0.356m^3}{0.07m^3}$

$=142400kg/m^2=14.24kg/c{m}^2$

• Compressão adiabática: Neste caso, podemos escrever

$p_i{V}_i^k=p_{f2}{V}_f^k\Rightarrow p_{f2}=p_i(\frac{V_i}{V_f}{)}^k$

${ϵ}_2=p_{f2}=p_i(\frac{V_i}{V_f}{)}^k=28000kg/m^2{\left(\frac{0.356m^3}{0.07m^3}\right)}^{1.4}$

$=273000kg/m^2=27.3kg/c{m}^2$

A temperatura final é dada por

$T_{f2}=T_i{\left(\frac{p_{f2}}{p_i}\right)}^{\frac{k-1}{k}}=49{}^{o}C\cdot {\left(\frac{273000kg/m^2}{2.8kg/c{m}^2}\right)}^{\frac{1.4-1}{1.4}}=(49+273)K\cdot {\left(\frac{273000kg/m^2}{28000kg/m^2}\right)}^{\frac{1.4-1}{1.4}}$

$=617K=344{}^{o}C$