Mecânica dos fluidos/Teorema do transporte de Reynolds

Teorema do transporte de Reynolds

As equações básicas para volumes de controle têm todas uma forma similar:

$\frac{\partial }{\partial t}\underset{C}{\int }\rho dV+\underset{S}{\int }\rho \overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S}=\frac{dm}{dt}$

$\frac{\partial }{\partial t}\underset{C}{\int }\rho \overrightarrow{v}dV+\underset{S}{\int }\rho \overrightarrow{v}(\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S})=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}$

$\frac{\partial }{\partial t}\underset{C}{\int }\rho (\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v})dV+\underset{S}{\int }\rho (\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v})(\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S})=\frac{d\overrightarrow{H}}{dt}$

$\frac{\partial }{\partial t}\underset{C}{\int }\rho edV+\underset{S}{\int }\rho e(\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S})=\frac{dE}{dt}$

$\frac{\partial }{\partial t}\underset{C}{\int }\rho sdV+\underset{S}{\int }\rho s(\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S})=\frac{dS}{dt}$

que pode ser escrita como

$\frac{\partial }{\partial t}\underset{C}{\int }\eta dV+\underset{S}{\int }\eta (\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S})=\frac{d\zeta }{dt}$

onde η é uma propriedade intensiva e ς, uma propriedade extensiva correspondente:

$\eta \in \{\rho ,\rho \overrightarrow{v},\rho (\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}),\rho e,\rho s\}\zeta \in \{m,\overrightarrow{M},\overrightarrow{\mathrm{\Omega }},E,S\}$

A maneira como as equações básicas foi derivada para um volume de controle é bastante genérica, de forma que a expressão pode ser estendida a qualquer par de propriedades relacionadas da forma

$\zeta =\int \eta dV$