Teoria dos conjuntos/Axioma da escolha

Axioma da escolha

Este é, sem dúvida, o mais controverso dos axiomas. Os demais axiomas, ao dizerem que determinado conjunto existe (ou não existe), sempre exibem como este conjunto é formado, e, usando-se o axioma da extensão, quase sempre chega-se a um conjunto único.

O axioma da escolha é diferente. Ele diz que determinado conjunto existe, mas não dá nenhuma pista sobre como este conjunto pode ser construído. Vários matemáticos importantes rejeitaram este axioma, e, para consubstanciar a rejeição, apresentaram resultados aparentemente paradoxais para justificar a rejeição.

Um dos argumentos mais interessantes é o Predefinição:W, que, usando uma construção baseada no axioma da escolha, divide uma esfera em um número finito de partes, aplica translações e rotações a estas partes, e remonta duas esferas idênticas à primeira.

O axioma é apresentado sob várias formas equivalentes. Estas formas serão apresentadas abaixo:

• se o conjunto vazio não é elemento de um conjunto, então existe uma função-escolha neste conjunto
• todo conjunto pode ser bem-ordenado
• se um conjunto for dividido em classes de equivalência, então existe um conjunto com um representante de cada classe
• Lema de Zorn

Função escolha

Uma função escolha em um conjunto A é uma função:

$f:A\to \bigcup _{x\in A}x$

em que $f(x)\in x$. Por exemplo, no conjunto $A=\{1,2,3\}$, uma função escolha poderia ser dada pelo gráfico $\{(1,0),(2,1),(3,2)\}$. Obviamente, outras funções-escolha são possíveis neste conjunto, como, por exemplo, a função constante $f(x)=0.$

Note-se que se $\varnothing \in A$, então $A$ não pode ter função escolha, porque não há como satisfazer $f(\varnothing )\in \varnothing$.

O axioma da escolha diz que este é o único caso em que não existe função-escolha. Ou seja:

$\mathrm{\forall }A\ni ̸\varnothing ⟹\mathrm{\exists }f:A\to \bigcup _{x\in A}x,\mathrm{\forall }x\in A,(f(x)\in x).$

Todo conjunto pode ser bem-ordenado

Já vimos o que é uma relação bem-ordenada em um conjunto $A$: ela é definida por $((A,A),<)$, em que $<$ é um conjunto de pares ordenados de elementos de $A$ com:

• $\mathrm{\forall }x,y,z\in A,(x<y\wedge y<x⟹x<z)$ (transitividade).
• $\mathrm{\forall }x\in A,(\mathrm{\neg }x<x)$ (aliorrelatividade).
• $\mathrm{\forall }x,y\in A,(x<y\vee x=y\vee y<x)$ (ordem total)
• $\mathrm{\forall }S\subseteq A,(\mathrm{\neg }(S=\varnothing )⟹\mathrm{\exists }i\in S,(\mathrm{\forall }x\in S,(i=x\vee i<x)))$ (bem-ordenação: todo subconjunto não vazio tem um elemento mínimo)

O axioma da bem-ordenação diz que para todo conjunto $A$ existe uma relação bem-ordenada em $A$.

Representantes das classes de equivalência

Em resumo, uma relação de equivalência em um conjunto $A$ é uma relação $((A,A),\sim )$ satisfazendo:

• $\mathrm{\forall }x\in A,(x\sim x)$ (reflexividade).
• $\mathrm{\forall }x,y\in A,(x\sim y⟹y\sim x)$ (simetria).
• $\mathrm{\forall }x,y,z\in A,(x\sim y\wedge y\sim z⟹x\sim z)$ (transitividade).

Uma relação de equivalência permite particionar o conjunto $A$ em classes de equivalência, que é construir o conjunto $A/\sim$ definido como um subconjunto do conjunto das partes de $A$ por:

$A/\sim :=\{x\in \mathrm{\wp }(A)\mid \mathrm{\forall }y,z\in x,(y\sim z)\}.$

É fácil mostrar que para todo elemento $x\in A$, existe uma (e apenas uma) classe de equivalência $\left[x\right]\in A/\sim$ com $x\in \left[x\right]$.

Temos também que se duas classes de equivalência são diferentes, então elas são disjuntas.

A versão do axioma da escolha diz que se um conjunto tem a propriedade acima, então podemos escolher um representante de cada classe, de forma que a interseção de qualquer classe com o conjunto de representantes seja um conjunto unitário.

Na linguagem formal:

$\mathrm{\forall }B,(\mathrm{\forall }x,y\in B,(x\ne y⟹x\cap y=\varnothing ))⟹\mathrm{\exists }C\subseteq \bigcup _{x\in B}x,(\mathrm{\forall }x\in B,\mathrm{\exists }y\in C,(x\cap C=\{y\})).$

Lema de Zorn

Uma relação de ordem parcial em um conjunto é uma relação $((A,A),\sim )$ satisfazendo:

• $\mathrm{\forall }x,y,z\in A,(x<y\wedge y<z⟹x<z)$ (transitividade)
• $\mathrm{\forall }x\in A,(\mathrm{\neg }x<x)$ (aliorrelatividade)

Uma relação de ordem total em um conjunto é uma relação de ordem parcial com a propriedade de totalidade:

• $\mathrm{\forall }x,y\in A,(x<y\vee x=y\vee y<x)$ (ordem total)

Fixando uma determinada relação de ordem parcial em $A$, temos:

• Um subconjunto $𝒞\subseteq A$ é uma cadeia quando $𝒞$ for totalmente ordenado pela relação, ou seja, $\mathrm{\forall }x,y\in 𝒞,(x<y\vee x=y\vee y<x)$
• Um elemento $a\in A$ é uma quota superior de um subconjunto $B\subseteq A$ quando $\mathrm{\forall }x\in B,x<a$
• Um elemento $a\in A$ é maximal se $\mathrm{\forall }x\in A,\mathrm{\neg }(a<x)$

O Lema de Zorn diz que, se toda cadeia tem uma quota superior, então existe um elemento maximal.