Teoria dos conjuntos/Axioma da potência

Axioma da potência

Dado um conjunto do tipo {x, y}, podemos construir (usando os axiomas anteriores) o conjunto {0, {x}, {y}, {x,y}} - ou seja, um conjunto cujos elementos são os subconjuntos do conjunto anterior.

O axioma da potência diz que este tipo de conjunto existe sempre, ou seja:

$\mathrm{\forall }x,\mathrm{\exists }y,\mathrm{\forall }z(z\subseteq x⟹z\in y)$

O conjunto das partes

Combinando este axioma com o axioma da extensão, constrói-se o único conjunto P(x) (chamado de conjunto das partes de x ou conjunto potência de x) definido por:

$P(x)=\{z\in y|z\subseteq x\}$

Segue imediatamente da definição que:

$\mathrm{\forall }x,y,(y\subseteq x⟺y\in P(x))$

Propriedades

As propriedades abaixo são imediatas (além de outras parecidas); a demonstração delas fica como exercício:

$\mathrm{\forall }x,(\varnothing \in P(x))$

$\mathrm{\forall }x,y,(P(x)\cap P(y)=P(x\cap y)$

$\mathrm{\forall }x,y,(P(x)\cup P(y)\subseteq P(x\cup y)$

Produto cartesiano

Dados dois conjuntos A e B, já vimos o que é o gráfico de uma relação de A para B: é qualquer conjunto cujos elementos são pares ordenados da forma (a, b) com $a\in A,b\in B$. Porém, exceto em casos muito simples, não fomos capazes de mostrar que o conjunto de todos estes pares existem.

O axioma da potência é necessário para construir este conjunto: como um par ordenado foi definido como (a, b) = {{a}, {a,b}}, temos que este é um conjunto cujos elementos são subconjuntos de A e de $A\cup B$:

$\{a\}\subseteq A$

$\{a,b\}\subseteq A\cup B$

portanto, temos que:

$\{a\}\in P(A\cup B),\{a,b\}\in P(A\cup B)$

ou seja:

$(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}\subseteq P(A\cup B)$

e, finalmente,

$(a,b)\in P(P(A\cup B))$

Com isso, definimos o produto cartesiano A x B como o conjunto:

$A\times B=\{x\in P(P(A\cup B))|\mathrm{\exists }a\in A,b\in B,(x=(a,b))\}$

O raciocínio acima descrito (para mostrar que $(a,b)\in P(P(A\cup B))$ mostra que o produto cartesiano satisfaz à seguinte propriedade:

$\mathrm{\forall }a\in A,b\in B,(a,b)\in A\times B$

Propriedades do produto cartesiano

Estas propriedades (e outras parecidas) são fáceis de provar:

• $(A\cup B)\times C=(A\times C)\cup (B\times C)$
• $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$
• $A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$

Composição de funções

Na conceituação das funções vistas em um capítulo anterior, foi possível definir o que são funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas - mas não foi possível conceituar o que é a função composta. Isto porque era preciso construir o produto cartesiano. Temos, portanto:

Sejam $f:A\to B$ e $g:B\to C$ funções. Considere-se então a relação g o f de A para C cujo gráfico é o subconjunto de $A\times C$ definido por:

$graf(g\circ f)=\{(x,z)\in A\times C|\mathrm{\exists }y\in B,((x,y)\in graf(f)\wedge (y,z)\in graf(g)\}$.

Lema: $g\circ f$ é uma função.

Prova: exercício.

Funções especiais

Sempre partindo do produto cartesiano e obtendo subconjuntos, podemos obter várias funções especiais:

Função constante

Se $b\in B$, define-se a função constante $f:A\to B$ cujo gráfico é $A\times \{b\}$.

Exercício: mostre que esta é uma função.

Função identidade

Para todo conjunto A, a função identidade é a função $i{d}_A:A\to A$ cujo gráfico são os pares ordenados de forma (a,a).

Exercício: mostre que esta é uma função.

Composição com a função identidade

Se $f:A\to B$ é uma função qualquer, então:

$f\circ i{d}_A=f$

$i{d}_B\circ f=f$

Função inversa

Se $f:A\to B$ é uma função bijetiva, define-se a função inversa como $f^{-1}:B\to A$ cujo gráfico são os pares (y,x) em que $(x,y)\in graf(f)$.

Exercício: mostre que esta é uma função bijetiva.

Composição da função com a sua inversa

Se $f:A\to B$ é uma função bijetiva, então:

$(f\circ f^{-1}):B\to B$ é igual à função $i{d}_B:B\to B$

$(f^{-1}\circ f):A\to A$ é igual à função $i{d}_A:A\to A$

Inversa da composição

Se $f:A\to B$ e $g:B\to C$ são funções bijetivas, então $g\circ f$ é uma função bijetiva, e sua inversa é $(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$

União de funções

Sejam $f:A\to C$ e $g:B\to C$ funções quaisquer, em que $A\cap B=\varnothing$.

É possível mostrar que existe uma função $h:A\cup B\to C$ cujo gráfico é a união dos gráficos de f e g.

Esta função costuma ser representada desta forma:

$h(x)=\{\begin{array}{cc}f(x)& \text{se }x\in A,\\ g(x)& \text{se }x\in B.\end{array}$

Conjuntos finitos

De posse das ferramentas agregadas com o axioma da potência, em especial as várias propriedades das funções, podemos voltar aos conjuntos finitos (segundo Dedekind), e provar várias propriedades importantes.

Por exemplo: se A é um conjunto infinito e $A\subseteq B$, então B é um conjunto infinito.

A prova é simples: seja $f:S\to A$ uma função bijetiva em que $S\subset A$. Então vamos construir a função $g:(S\cup (B-A))\to B$. Como $S\cap (B-A)=\varnothing$, a definição abaixo é válida:

$g(x)=\{\begin{array}{cc}f(x)& \text{se }x\in S,\\ i{d}_{B-A}x& \text{se }x\in B-A.\end{array}$

A demonstração de que g é uma função bijetiva é tediosa, mas segue imediatamente das definições. Além disso, como S é um subconjunto próprio de A, este elemento que falta será o elemento que falta em $S\cup (B-A)\subset B$.

Surpreendentemente, não podemos ainda avançar - parece óbvio que a união de dois conjuntos finitos também é um conjunto finito, mas esta demonstração requer outro axioma.

Números ordinais

Já definimos o que é um número ordinal (segundo von Neumann), através da propriedade Ord(α) definida:

• Existe uma relação bem ordenada ((α, α), R)
• Esta relação satisfaz $\mathrm{\forall }x,y\in \alpha ,((x,y)\in R⟺x\in y)$
• Todo elemento de α é um subconjunto de α (ou seja, $\mathrm{\forall }x\in \alpha ,(x\subseteq \alpha ))$

Podemos agora provar alguns fatos básicos sobre números ordinais.

O sucessor de um ordinal é um ordinal

Se α é um número ordinal, então seu sucessor $s(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}$ também é.

A demonstração - que não podia ser feita antes - parte da construção da relação ((s(α), s(α)), R) simplesmente definindo o seu gráfico $R=\{(x,y)\in s(\alpha )xs(\alpha )|x\in y\}$.

É imediato (pela definição) que $\mathrm{\forall }x,y\in s(\alpha ),((x,y)\in R⟺x\in y$.

Analogamente, todo elemento de s(α) é um elemento de α (portanto subconjunto de α, logo subconjunto de s(α)) ou é o próprio α, que é um subconjunto de s(α).

Falta mostrar que esta relação é bem ordenada, ou seja:

• $\mathrm{\forall }x,y,z\in s(\alpha ),(x\in y\wedge y\in z⟹x\in z)$ (transitividade)
• $\mathrm{\forall }x\in s(\alpha ),(\mathrm{\neg }x\in x)$ (aliorrelatividade)
• $\mathrm{\forall }x,y\in s(\alpha ),(x\in y\vee x=y\vee y\in x)$ (ordem total)
• $\mathrm{\forall }S\subseteq s(\alpha ),(\mathrm{\exists }s\in S⟹\mathrm{\exists }i\in S,(\mathrm{\forall }x\in S,(i=x\vee i\in x)))$ (bem-ordenação)

e que o que falta mostrar é se estas propriedades valem quando algum destes x, y, z ou S são iguais (ou contém, no caso de S) α

Na primeira propriedade, a única exceção possível é quando z = α, neste caso, é óbvio que $x\in z$.

Na segunda propriedade, basta mostrar que $\alpha \in ̸\alpha$, mas isto é óbvio, porque se $\alpha \in \alpha$ então, pela segunda propriedade aplicada ao conjunto x = α como elemento do ordinal α chega-se a $\alpha \in ̸\alpha$.

Na terceira propriedade, sendo x igual a α e y diferente, então y é um elemento de α; os demais casos também são imediatos.

Finalmente, seja S um subconjunto de s(α) que inclua o elemento α. Então, se S possui qualquer outro elemento, tomamos i como sendo o mínimo de $S-\{\alpha \}$, caso contrário i = α - e isto conclui a demonstração.

O sucessor de um elemento de um ordinal é seu elemento ou igual a ele

Ou seja, sejam α e β ordinais com $\alpha \in \beta$. Então $s(\alpha )\in \beta$ ou $s(\alpha )=\beta$.

Suponhamos então que $s(\alpha )\ne \beta$. Já vimos que $s(\alpha )\subseteq \beta$, portanto temos que $s(\alpha )\subset \beta$. Mas já vimos que, se um ordinal é subconjunto próprio de outro, então é seu elemento, o que completa a prova $s(\alpha )\in \beta$

Se dois ordinais são distintos, então um deles é elemento do outro

Suponhamos então que Ord(α) e Ord(β) sejam dois ordinais distintos, e seja $\gamma =\alpha \cap \beta$.

Se γ não for nem α nem β então temos que $\gamma \subset \alpha ⟹\gamma \in \alpha$ e, analogamente, $\gamma \in \beta$, portanto $\gamma \in \alpha \cap \beta$ o que leva a $s(\gamma )\subseteq \alpha \cap \beta$, contradizendo $\gamma =\alpha \cap \beta$.

Portanto, γ é igual a α ou igual a β, completando a prova.