Medida e integração/Conjuntos de medida nula

Assim como nos capítulos anteriores, ao longo deste capítulo será suposto fixado um [[../Medida#defi:esp-com-medida|espaço com medida]] $(X,𝔐,\mu ).$

A noção que acaba de ser definida será usada com grande frequência e por isso será abreviada como $P$ vale q.s. em $E$ ou como $P$ vale em q.t.p. de $E$.

Observe que o conceito depende fortemente da medida $\mu ,$ então quando for preciso evitar ambiguidades, ela será indicada explicitamente, como por exemplo em $P$ vale q.s.$[\mu ]$ em $E$.

A seguir serão apresentados vários exemplos de "propriedades que valem quase sempre" em diferentes contextos, de modo que o leitor possa se familializar com este novo conceito. Por simplicidade, será usado sempre $\mathrm{\Gamma }$ para denotar indistintamente qualquer dos conjuntos $\overline{ℝ},$ ${\overline{ℝ}}_{+}$ e $𝕂.$ Predefinição:Exemplo

Mais adiante (na Definição ???), será dado o significado da mensurabilidade de funções que estejam definidas q.s.$[\mu ]$ em $E.$ Então, se for suposto que as funções $f_i$ do exemplo anterior forem mensuráveis, e que as imagens de ambas estão contidas em $𝕂,$ é possível comprovar que o conjunto $N$ pode ser trocado por $\{x\in E|f_1(x)=f_2(x)\}.$ De fato, como $\{x\in E|f_1(x)=f_2(x)\}={(f_1-f_2)}^{-1}({𝕂}^{\mathbb{*}}),$ este conjunto é [[../Mensurabilidade#defi:conj-mens|mensurável]], pois ${𝕂}^{\mathbb{*}}$ é um aberto e $f_1-f_2$ é mensurável. Assim, tem-se que $f_1$ é igual a $f_2$ q.s.$[\mu ]$ em $E$ se, e somente se, $\mu (\{x\in E|f_1(x)=f_2(x)\})=0.$ Predefinição:Exemplo

Ao longo dos próximos parágrafos serão apresentados resultados e definições com o objetivo de definir a "mensurabilidade" e a "integral" de "funções definidas quase sempre", isto é, de dizer o que significam coisas como:

1. A frase "$f:X\to \mathrm{\Gamma }$ está definida q.s.$[\mu ]$ em $X$ e $f$ é mensurável";
2. A integral "$\underset{X}{\int }f\text{d}\mu$", no caso de $f$ ser uma função do tipo acima.

Lembrando que $f:X\to \mathrm{\Gamma }$ está definida q.s.$[\mu ]$ em $X$ quando existe algum [[../Mensurabilidade#defi:conj-mens|conjunto mensurável]] $N\subset X$ (não necessariamente único), tal que $\mu (N)=0$ e que $X\setminus N=N^c\subset \mathrm{Dom}f,$ poderia ser feita uma tentativa de definir a mensurabilidade dizendo que tal função $f$ é mensurável se sua restrição $f{|}_{N^c}:N^c\to \mathrm{\Gamma }$ for mensurável. No entanto, como o conjunto $N$ não tem motivo para ser único, se $N^{\prime }\subset X$ for outro [[../Mensurabilidade#defi:conj-mens|conjunto mensurável]], para o qual $\mu (N^{\prime })=0$ e $N{\text{'}}^c\subset \mathrm{Dom}f,$ este conceito de mensurabilidade só estaria bem definido se fosse independente da escolha de $N,$ isto é, se $f{|}_{N^c}$ fosse mensurável exatamente quando $f{|}_{N{\text{'}}^c}$ fosse mensurável. O leitor pode imaginar a dificuldade que resultaria de seguir esta direção, observando que não há uma relação simples entre os conjuntos $N^c$ e $N{\text{'}}^c.$

Uma alternativa mais simples consiste em investigar as propriedades e consequências da seguinte definição provisória para o conceito de mensurabilidade: Predefinição:Âncora Predefinição:Definição

Para evitar que seja feita confusão, nos próximos parágrafos será usada a expressão "mensurável no sentido usual" para indicar que uma função é mensurável de acordo com a [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|Definição ???]].

O lema a seguir mostra como construir, por exemplo, uma [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|função mensurável no sentido usual]] $f:X\to \mathrm{\Gamma }$ quando já se conhece uma função $f:X\to \mathrm{\Gamma }$ definida q.s.$[\mu ]$ que seja mensurável em $X$ (no sentido da definição anterior). Predefinição:Lema

Observe que o domínio da função $\tilde{f}$ é todo o conjunto $X.$ Além disso, por definição, existe um conjunto $N$ com as propriedades indicadas no enunciado e a função $\tilde{f}$ construída varia conforme a escolha deste conjunto $N.$ Uma função $\tilde{f}$ construída como no lema anterior será chamada de redefinição de $f$. Com essa nomenclatura, o lema anterior expressa o fato de que toda redefinição $\tilde{f}$ de uma função $f$ mensurável em $X$ é também [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|mensurável no sentido usual]].

Uma forma alternativa de se construir uma redefinição de uma função $f$ dada é estendê-la a todo $X$ atribuindo valores arbitrários aos pontos do conjunto de medida nula $N$ e então definir $\tilde{f}$ multiplicando $f$ pela função característica de $N^c$ (que irá zerar nos pontos de $N$):

$\tilde{f}=X_{N^c}\cdot f.$

É comum alguns autores (citação???) usarem a expressão anterior para definir uma redefinição de $f$ sem antes atribuir valores arbitrários para os pontos de $N.$ Para isso, é convencionado (apenas por questões de praticidade) que "o produto de zero por algo que não existe dá zero".

Fazendo uso do lema anterior, é possível reformular a definição provisória do conceito de mensurabilidade (de funções definidas quase sempre). A forma mais geral do conceito é como segue:

Para dar continuidade ao que foi iniciado logo depois do exemplo ???, o próximo passo é dar sentido à notação $\underset{X}{\int }f\text{d}\mu$ no caso de $f:X\to \mathrm{\Gamma }$ ser uma função mensurável definida q.s.$[\mu ]$ em $X.$ Antes disso, porém, será introduzida uma notação adicional e serão deduzidos alguns resultados preliminares bastante simples.

Conforme o exemplo ???, $f_1=f_2$ q.s.$[\mu ]$ significa existir um [[../Mensurabilidade#defi:conj-mens|conjunto mensurável]] $N\subset E,$ tal que $\mu (N)=0,$ $E\setminus N\subset \mathrm{Dom}{f}_1\cap \mathrm{Dom}{f}_2$ e que $f_1(x)=f_2(x),$ $\mathrm{\forall }x\in E\setminus N.$ O leitor pode verificar que a relação de "ser igual quase sempre em um conjunto em relação a uma certa medida" é, na verdade, uma relação de equivalência sobre o conjunto

$ℳ(E;\overline{ℝ}):=\{f:E\mapsto \overline{ℝ}|f\text{ e mensuravel}\}.$

Isto justifica o uso de notações adicionais como $f\stackrel{\mu }{\sim }g$ ou $f\stackrel{E}{\sim }g$ (ou simplesmente $f\sim g$) quando as funções $f$ e $g$ forem iguais quase sempre $[\mu ]$ em $E.$ Predefinição:Proposição

Agora já é possível definir a integral de funções definidas q.s.$[\mu ]$ em $E.$ Predefinição:Definição