Medida e integração/Medida

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Antes de passar aos exemplos mais interessantes de medidas, pode-se apresentar alguns tipos bem simples, conforme os próximos exemplos mostram. A medida de Lebesgue sobre ${ℝ}^n$ possui uma construção mais elaborada, e por isso será introduzida em um [[../A medida de Lebesgue|capítulo posterior]].

Exemplos

Medida da contagem

Dado um conjunto arbitrário $X,$ pode-se definir uma medida $\mu :𝒫(X)\mapsto {\overline{ℝ}}_{+}$ da seguinte maneira:

$\mu (E)=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& \text{se }E\text{ tem infinitos elementos}\\ n,& \text{se }E\text{ tem }n\text{ elementos}\end{array}$

A verificação de que esta função é realmente uma medida fica a cargo do leitor. Sinta-se convidado a melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Medida de Dirac em $x_0$

Dado um conjunto arbitrário $X$ e um ponto qualquer $x_0\in X,$ define-se ${\delta }_{x_0}:𝒫(X)\mapsto {\overline{ℝ}}_{+}$ como

${\delta }_{x_0}(E)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{se }{x}_0\in E\\ 0,& \text{se }{x}_0\in ̸E\end{array}$

A verificação de que esta função é realmente uma medida fica a cargo do leitor. Sinta-se convidado a melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Esta medida também é conhecida popularmente pelo nome de "medida da massa unitária concentrada em $x_0$".

Generalização

Os exemplos anteriores são casos particulares de um tipo mais geral de medida. Para perceber isto, é preciso considerar um tipo de "soma" que envolve famílias não enumeráveis de números reais não negativos. Considere um conjunto $X$ e uma função $f:X\mapsto {\overline{ℝ}}_{+}.$ Defina

$\sum _{x\in X}f(x):=\sup \{\sum _{x\in F}f(x):F\subset X\text{ e }|F|<\mathrm{\infty }\}$

Posteriormente será visto que esta soma é a "integral de $f$" em relação a medida da contagem sobre $X.$ Agora que foi estabelecida uma notação para este tipo de soma, observe que a função $f$ determina uma medida positiva sobre a [[../Mensurabilidade#defi:s-algebra|$\sigma$-álgebra]] $𝒞,$ da seguinte maneira:

${\mu }_f(E):=\sum _{x\in E}f(x)$

Com as notações anteriores, tem-se a medida da contagem sobre $X$ quando $f$ é a função constante igual a $1.$

Analogamente, a medida de Dirac em $x_0$ é obtida quando existe algum $x_0\in X$ tal que

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{se }x=x_0\\ 0,& \text{se }x=x_0\end{array}.$

Contra-exemplo

No último item da Proposição 4.5, é realmente necessário que se verifique a hipótese $\mu (A_0)<\mathrm{\infty },$ caso contrário não se tem garantia sobre qualquer relação entre $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu (A_n)$ e $\mu \left(\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{A}_n\right).$ Por exemplo, se $\mu$ é a medida da contagem sobre $X=\mathbb{N}$ e se define para cada $n\in \mathbb{N}$ o conjunto $A_n=\{p\in \mathbb{N}:p\ge n\},$ então obviamente $A_n\supset A_{n+1},$ para todo $n\in \mathbb{N}$ e $\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{A}_n=\mathrm{\varnothing }.$ No entanto, $\mu (A_n)=\mathrm{\infty },$ para todo $n\in \mathbb{N}$ e, em particular, $\mu (A_0)=\mathrm{\infty }.$ Neste caso,

$\mu \left(\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{A}_n\right)=\mu (\mathrm{\varnothing })=0<\mathrm{\infty }=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu (A_n).$

Sobre a as notações e a terminologia

Na definição Definição 4.1, caracterizou-se um "espaço de medida" como sendo uma terna ordenada $(X,𝔐,\mu ),$ em que $X$ é um conjunto, $𝔐$ é uma [[../Mensurabilidade#defi:s-algebra|$\sigma$-álgebra sobre $X$]] e $\mu$ é uma medida positiva sobre $𝔐.$ Analogamente, na [[../Mensurabilidade#defi:esp-mens|definição de "espaço mensurável"]], é explicitado um par ordenado $(X,𝔐),$ no qual $X$ é um conjunto e $𝔐$ é uma [[../Mensurabilidade#defi:s-algebra|$\sigma$-álgebra sobre $X.$]] A presença de todo este formalismo é geralmente vantajosa, e por vezes necessária, principalmente ao se definir os novos conceitos. No entanto, tal formalismo é de certo modo dispensável: Ao definir um espaço de medida $(X,𝔐,\mu ),$ é considerada a função $\mu .$ Como toda função tem um domínio, e no caso de $\mu ,$ o domínio é uma [[../Mensurabilidade#defi:s-algebra|$\sigma$-álgebra]], basta conhecer a medida para saber quem é $𝔐.$ Além disso, sabendo-se quem é $𝔐,$ se deduz qual é o conjunto $X,$ pois ele é simplesmente o maior conjunto que pertence a qualquer [[../Mensurabilidade#defi:s-algebra|$\sigma$-álgebra sobre $X.$]]

Sendo assim, é aceitável usar expressões informais como, por exemplo, "seja $\mu$ uma medida". No caso de ser necessário dar alguma ênfase para a [[../Mensurabilidade#defi:s-algebra|$\sigma$-álgebra]] ou para o conjunto $X,$ poderia ser dito "seja $\mu$ uma medida sobre $𝔐$" ou "seja $\mu$ uma medida sobre X".

Em síntese, é de uso corrente nos livros da área expressões e notações simples, em vez de suas formulações "logicamente impecáveis", então o leitor não deve se espantar ao se deparar com frases do tipo "seja $X$ um espaço com medida", já que em tais situações ficará implícito que há alguma medida definida sobre alguma [[../Mensurabilidade#defi:s-algebra|$\sigma$-álgebra sobre $X,$]] conforme as observações anteriores sugerem.

Ver também

• Counting measure: Artigo sobre a medida da contagem, na Wikipédia inglesa;
• Dirac measure: Artigo sobre a medida de Predefinição:W, na Wikipédia inglesa;

Notas

Predefinição:AutoCat