Álgebra abstrata/Monóides e grupos

Monóide e Grupo

Definição geral: Monóide é um conjunto com a propriedade associativa e uma unidade, enquanto Grupo é um monóide ao qual todos os elementos têm inversos relativos a unidade.

Monóide

Um Monóide é um triplo $(M,\cdot ,1)$ na qual M é um conjunto não-vazio, $\cdot$ é uma composição binária associativa em M e 1 é um elemento unidade de M tal que $1\cdot a=a=a\cdot 1$ para todo a em M.

Se retirarmos a hipótese que $\cdot$ é associativo temos um Monad. Ou se tirarmos a hipótese que possui uma unidade 1, teremos um conjunto com uma composição binária ao qual chamamos de semi-grupo. Assim Monóide é um semi-grupo com unidade.

Um monóide é dito finito se ele possui uma número finito de elementos.

Exemplo 1 de Monóide

Seja M(S) o conjunto de todas as aplicações de S em si mesma; $1_S:S\mapsto S(s\mapsto s),s\in S$ uma aplicação identidade.

Exemplo: Seja $\alpha ,\beta ,\gamma :S\mapsto SeS=\{1,2\};$

$M(S)=\{1_S=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right),\alpha =\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right),\beta =\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right),\gamma =\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 2\end{array}\right)\},\begin{array}{ccccc}\circ & 1_S& \alpha & \beta & \gamma \\ 1_S& 1_S& \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha & \alpha & 1_S& \gamma & \beta \\ \beta & \beta & \beta & \beta & \beta \\ \gamma & \gamma & \gamma & \gamma & \gamma \end{array}$

M(S) é um exemplo de um monóide, que é um conjunto não-vazio, com uma composição binária associativa e uma unidade. M(S) é o monóide de todas as transformações do conjunto S.

Exemplo 2 de Monóide

$(\mathbb{N},+,0),(\mathbb{N},\cdot ,1),(𝕀,\cdot ,1),(\mathbb{Z},+,0),(P(S),\cup ,\varnothing ),(P(S),\cap ,S)$

em que $𝕀$ é o conjunto dos números naturais ímpares e P(S) é o conjunto das partes de S.

Fechado

Seja $(N,\cdot ,1)$ e $(M,\cdot ,1)$. Quando dizemos que N é fechado sobre o produto em M significa que $n_1\cdot n_2\in N,\mathrm{\forall }{n}_1,n_2\in N$.

Exemplo da expressão N é fechado sobre o produto em M.

no monóide $(\mathbb{N},+,0)$, o subconjunto dos números pares é fechado sobre a operação binária, mas o subconjunto dos números ímpares não é.

Submonóide

Um conjunto N é um Submonóide de M, se (i) N é um subconjunto do monóide M, (ii) N contém a unidade de M e (iii) N é fechado sobre o produto em M

Exemplos de Submonóide, sendo $𝕀$ o conjunto dos números naturais ímpares:

$(𝕀,\cdot ,1)$ é um submonóide de $(\mathbb{N},\cdot ,1)$, por sua vez, é um submonóide de $(\mathbb{Z},\cdot ,1)$

Grupo

Seja um monóide $(M,\cdot ,1)$. Um elemento u de M é dito inversível se existe um v em M, tal que, $u\cdot v=1$. Chamamos v de inverso de u e escrevemos $v=u^{-1}$. No caso em que a operação binária $\cdot$ for representada pelo símbolo de soma, +, representa-se o inverso por $v=-u$.

Um grupo G ( ou seja, $(G,\cdot ,1)$ ) é um monóide que têm todos os seus elementos inversíveis.

Grupo também pode ser definido como um triplo $(M,\cdot ,1)$ na qual M é um conjunto não-vazio, $\cdot$ é uma composição binária associativa em M, 1 é um elemento unidade de M tal que $1\cdot a=a=a\cdot 1$ para todo a em M e para todo u, existe um v tal que $u\cdot v=1$.

Em resumo, seja $(G,\cdot ,1)$. G é um grupo multiplicativo com unidade 1 quando:

$\mathrm{\exists }1\in Gtalque1\cdot g=g\cdot 1=g\mathrm{\forall }g\in G$ (existe unidade)

$g_1,g_2\in G⟹g_1\cdot g_2\in G$ (fechado para multiplicação)

$\mathrm{\forall }g\in G\mathrm{\exists }{g}^{-1}talqueg\cdot g^{-1}=g^{-1}\cdot g=1$ (todo elemento possui inverso)

$g_1.g_2,g_3\in G⟹g_1\cdot (g_2\cdot g_3)=(g_1\cdot g_2)\cdot g_3$ (composição binária associativa)

Subgrupo

Um submonóide de um monóide (em particular, um grupo), é um sub-grupo se é um grupo.

Seja M um grupo e G um subconjunto de M. G é um sub-grupo de M se: (i) 1 está em G, (ii) G é fechado sobre o produto em M (iii)

Nota-se que para todo grupo ${(}^{″}{G}^{″}{,}^{″}{\cdot }^{″}{,}^{″}{1}^{″})$, se M é um subconjunto de G, $\cdot$ é fechada em M e existe um elemento 1' de M tal que ${(}^{″}{M}^{″}{,}^{″}{\cdot }^{″}{,}^{″}{1}^{‴})$ seja um grupo, então 1 = 1' . Esta propriedade não vale para monóides, conforme exercício abaixo:

Exercício: Sejam S e T conjuntos de forma que S é um subconjunto próprio de T. Mostre que:

1. $(P(S),\cap ,S)$ e $(P(T),\cap ,T)$ são monóides
2. P(S) é um subconjunto de P(T)
3. a operação de interseção em P(T), quando aplicada a elementos de P(S), retorna um elemento de P(S) (fechamento)
4. as identidades nos dois monóides são diferentes

Grupo Comutativo (Abeliano)

Um grupo é dito comutativo se dado dois elementos do grupo, a operação p entre eles de ambos os lados são iguais, i é, seja $u,v\in (G,\cdot ,1)$, onde $u\cdot v=v\cdot u$.

Monóide e grupo de transformação

Monóide de Transformação

Um submonóide do monóide M(S) é chamado de monóide de transformação (de S).

Ordem de um monóide

É a cardinalidade do monóide.

Grupos de Transformação

Seja U(M) o conjunto dos elementos inversíveis do monóide M. Assim se p(u, v) = 1, u,v estão em U(M), Como $1\cdot 1=1$, 1 está em U(M). U(M) é um submonóide de M. Nós podemos chamar U(M) de grupo dos elementos invertíveis de M, ou de grupo das unidades de M.

Exemplo: Se $M=(\mathbb{Z},\cdot ,1),U(M)=1,-1$, se $M=(\mathbb{N},\cdot ,1),U(M)=1$

Seja M(S) um monóide de transformação de um conjunto não vazio. U(M(S)) é o grupo dos elementos inversíveis de M(S). Vejamos o elemento dado no começo dessa página. $M(S)=\{1_S=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right),\alpha =\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right),\beta =\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right),\gamma =\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 2\end{array}\right)\},\begin{array}{ccccc}\circ & 1_S& \alpha & \beta & \gamma \\ 1_S& 1_S& \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha & \alpha & 1_S& \gamma & \beta \\ \beta & \beta & \beta & \beta & \beta \\ \gamma & \gamma & \gamma & \gamma & \gamma \end{array}$

vemos que $1_{S}e\alpha$ são inversíveis e fechado para a composição, assim U(M(S)) = $\{1_S,\alpha \}$. U(M(S)) é chamado de grupo de transformação (de S).

Exemplo: M(S)

Exemplo: Seja S= {-1,0,1,}, qual é a ordem de $M(S)$ e de Sim S?

$M(S)=\{\chi =\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -1& -1& -1\end{array}\right),\rho =\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -1& -1& 0\end{array}\right),ϵ=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -1& -1& 1\end{array}\right)\}$

$\{\eta =\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -1& 0& -1\end{array}\right),1_S=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -1& 0& 1\end{array}\right),\sigma =\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -1& 1& -1\end{array}\right),...\psi =\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\}$

Exemplo: U(M(S))

$U(M(S))=\{1_S=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -1& 0& 1\end{array}\right),\alpha =\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right),\beta =\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& -1& 1\end{array}\right),\gamma =\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\right)\}$

$\{\delta =\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 1& -1& 0\end{array}\right),\theta =\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 1& 0& -1\end{array}\right)\}\begin{array}{ccccccc}\circ & 1_S& \alpha & \beta & \gamma & \delta & \theta \\ 1_S& 1_S& \alpha & \beta & \gamma & \delta & \theta \\ \alpha & \alpha & 1_S& \delta & \theta & \beta & \gamma \\ \beta & \beta & \gamma & 1_S& \alpha & \theta & \delta \\ \delta & \delta & \theta & \alpha & 1_S& \gamma & \beta \\ \gamma & \gamma & \beta & \theta & \delta & 1_S& \alpha \\ \theta & \theta & \delta & \gamma & \beta & \alpha & 1_S\end{array}$.

Teorema

Se dado um monóide de todas as transformação de S(não-vazio), cuja ordem de S seja n, a ordem de M(S) é nⁿ. E se tomarmos somente os elementos inversíveis de M(S), ou seja, Sim S = U(M(S)), então sua ordem é n!.

Grupo de Transformação

Def. Um subgrupo de um U(M(S)) (grupo simétrico de S) se chamará grupo de transformação. Um grupo G de transformação de um conjunto D é um grupo de transformação se, e somente se, consiste de aplicações bijetivas (i é,possui aplicações inversas) e G têm as propriedades de fechamento:

$1=1_S\in G$

$\alpha \circ \beta \in G,se\alpha ,\beta \in G$

${\alpha }^{-1}\in G,se\alpha \in G$

$\alpha \circ (\beta \circ \gamma )=(\alpha \circ \beta )\circ \gamma ,se\alpha ,\beta ,\gamma \in G$

Teoria de Grupo

Acima consideramos que todas as transformações de U(M(S)) são bijetivas, agora vamos provar esse fato.

Teorema 1: Uma transformação de U(M(S)) é injetiva se, e somente se têm inverso à direita. É sobrejetiva se, e somente se, têm inverso à esquerda.

i) Se $\alpha$ têm inverso à direita $\beta$, assim $\beta \circ \alpha =1_S$ e $t,t^{\prime }\in S,\alpha (t)=\alpha (t^{\prime })$ implica que:

$t=1_S(t)=(\beta \circ \alpha )(t)=\beta \circ (\alpha (t))=\beta \circ (\alpha (t^{\prime }))=(\beta \circ \alpha )(t^{\prime })=1_S(t^{\prime })=t^{\prime }$

logo $t,t^{\prime }\in S,\alpha (t)=\alpha (t^{\prime })⟹t=t^{\prime }$

ii)Se $\alpha$ têm inverso à esquerda $\gamma$, assim $u\in S,\alpha \circ \gamma =1_S$ temos que:

$u=1_S(u)=(\alpha \circ \gamma )(u)=\alpha (\gamma (u))=\gamma (v)\in S,v\in S$

$$ Corolário 1: Uma transformação de U(M(S)) é bijetiva se, e somente se têm inverso à direita e à esquerda. E se houver ambos, ambos serão iguais.

Seja $t\in S,s=1_S(s)=\beta (\alpha (s))=\alpha (\gamma (s)),$

Como $\beta (\alpha (\gamma (s)))=(\beta \circ (\alpha \circ \gamma ))(s)=(\beta \circ \alpha \circ \gamma )(s)=(\beta (\alpha )\circ \gamma )(s)$

Logo $\beta (s)=\beta (\alpha (\gamma (s)))=(\beta (\alpha )\circ \gamma )(s)=\gamma (s)$

Corolário 2: Uma transformação de U(M(S)) é bijetiva se, e somente se têm inverso à direita e à esquerda. E se houver ambos, ambos serão iguais.

Seja $t\in S,s=1_S(s)=\beta (\alpha (s))=\alpha (\gamma (s)),$

Como $\beta (\alpha (\gamma (s)))=(\beta \circ (\alpha \circ \gamma ))(s)=(\beta \circ \alpha \circ \gamma )(s)=(\beta (\alpha )\circ \gamma )(s)$

Logo $\beta (s)=\beta (\alpha (\gamma (s)))=(\beta (\alpha )\circ \gamma )(s)=\gamma (s)$

Como $(\alpha \circ \beta \circ \alpha )(s)=\alpha (s)$, temos que a inversa da inversa de uma transformação é ela própria.

Teorema 2: O conjunto de todas as bijeções de um espaço qualquer S sobre S é um grupo de transformações

Teorema 3: Seja $t,u\in G(S,\cdot ,1),Set\cdot a=u;b\cdot t=u$, então $a=t^{-1}\cdot u,b=u\cdot t^{-1}$

Teoria de Subgrupo

Seja T um subconjunto de um grupo S. Se T é um subgrupo de S, então T é fechado pro operador de S e todo elemento tem inversa em T

$$