Álgebra abstrata/Funções

Produto Cartesiano

Podemos associar dois conjuntos de forma que os seus elementos sejam independentes. Seja A,B conjuntos tais que seus elementos não estejam relacionados, assim:

Aplicação (Funções)

Uma função associa elementos de dois conjuntos através de uma regra. Assim temos A,B conjuntos e f associando A e B através de uma regra e escrevemos $f:A\mapsto B$.

• (função) f é uma aplicação $\iff \mathrm{\forall }x\in A,\mathrm{\exists }f(x)=y\in B$
  • (unicidade) $Sef(x)=y,f(x)=z,logoy=z$

Funções iguais

Duas funções f,g são iguais se, e somente se, $D_f=D_g,C{D}_f=C{D}_g,f(x)=g(x)\mathrm{\forall }x\in D$

$$

Transformação

Uma transformação é uma aplicação onde D=CD. $f:S\mapsto S$ é uma transformação de S sobre S.

Aplicação Identidade

Uma aplicação Identidade leva um elemento ao mesmo elemento. Seja $1_S:S\mapsto S,assim{1}_S(t)=t,\mathrm{\forall }t\in S$

Contra-domínio

O conjunto B é chamado de contra-domínio porque é o conjunto onde f aplicado em A vai procurar estabelecer sua regra.

Imagem

O conjunto $B^{\prime }=\{f(x),x\in A,f(x)\in B\}$ é chamado de conjunto imagem porque é o conjunto de todos os elementos de B que são alcançados pela regra de f aplicado em A.

Restrição\Extensão

Seja $f:A\mapsto BeC\subset A$.
Uma aplicação $g:C\mapsto B$ é chamada restrição f para C, e escrevemos $f|C:C\mapsto B$.
Uma restrição f|C é uma restrição do domínio, e $C\times B=\{(c,f(c)),c\in C\}$
A aplicação f é uma extensão da aplicação f|C

Sobrejetora

Uma aplicação $f:A\mapsto B$ é sobrejetora, se $Im(A)=B$

Injetora

A aplicação $f:A\mapsto B$ é injetora se elementos distintos de A(domínio) tem imagens distintas em B, isto é, se $a1\ne a2\Rightarrow f(a1)\ne f(a2)$

Gráfico de uma função

Seja $f:A\mapsto B$ uma função. O gráfico de f é dado por $G_f=\{(x,f(x));x\in A,f(x)\in B\}$

Composição de funções

Seja $f:R\mapsto S,g:S\mapsto Teh:T\mapsto U$.

• As aplicações $f\circ g:R\mapsto Teg\circ h:S\mapsto U$ são chamadas de aplicações compostas
• A aplicação $f\circ g\circ h:R\mapsto U$ é interessante pela sua forma associativa
  • $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h):R\mapsto U$
  • Se f e g são sobrejetora, então $f\circ g$ também o é
  • Se f e g são injetora, então $f\circ g$ também o é

Bijetora

Se f é sobrejetora e injetora, então ela é chamada bijetora.

De uma maneira mais rigorosa, $f:X\mapsto Y$ é bijetiva se, e somente se, existe $g:Y\mapsto X$ tal que $g\circ f=1_{X}ef\circ g=1_Y$

Aplicação Inversa

Função inversa de $f:X\mapsto Y$ é uma função com gráfico (f(x),x), onde é o mesmo gráfico de f(x), rotacionado em torno da reta y=x. Dizemos que $f^{-1}:Y\mapsto X$ é a função inversa de f.

Seja $f:X\mapsto Y,g:Y\mapsto Z$. Assim $f\circ g:X\mapsto Z,g^{-1}\circ f^{-1}:X\mapsto Z$; Façamos:

i) $(f\circ g)\circ (g^{-1}\circ f^{-1})=f\circ (g\circ g^{-1})\circ f^{-1}=f\circ f^{-1}=1_Y$

ii) $(g^{-1}\circ f^{-1})\circ (f\circ g)=g^{-1}\circ (f^{-1}\circ f)\circ g=g^{-1}\circ g=1_X$

Imagem Inversa

Suponha $f:X\mapsto Y$, seja uma relação de equivalência envolvendo a imagem, de forma que, a R b se, e comente se, f(a) = f(b). Assim se $c\in Y$ nós temos $f^{-1}(c)=\{a\in X/f(a)=c\}$

Seja $C\subset Y$. De fato, $f^{-1}(C)=\bigcup _{c\in Y}{f}^{-1}(c)$