Análise real/Seqüência de funções

Nesta seção, introduzimos um importante conceito da análise real, a ideia de sequência de funções. Uma sequência de funções em um domínio $D$ é definida com um conjunto $\{f_i\}$ de funções $f_i:D\to ℝ$ indexadas com um índice $i$. São exemplos de sequência de funções definidas em toda a reta ($D=ℝ$):

• $f_i(x)=i{x}^2$
• $f_i(x)=\frac{i}{i+x^2},i\ge 1$
• $f_i(x)=\frac{x}{i},i\ge 1$

O leitor deve observar que para cada ponto fixo no domínio $x_0$, uma sequência de funções define um sequência numérica:

$f_i(x_0)$ define uma sequência numérica para cada $x_0$ fixo.

Sequência equilimitada

Uma sequência de funções $\{f_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ é dita equilimitada num conjunto $E$ se cada uma das funções está definida em $E$ e se existe uma constante $M$ tal que:

• $|f_i(x)|\le M,\mathrm{\forall }x\in E\mathrm{\forall }i\ge 1$