Análise real/Variação total

Oscilação

Seja $f:D\to ℝ$ uma função real. Definimos a oscilação de $f$ em um intervalo $[a,b]$ contido em $D$ como:

• ${\text{osc}}_{[a,b]}(f):=\underset{[a,b]}{\sup }f(x)-\underset{[a,b]}{\inf }f(x)$

Propriedades

• Se $f$ é um função não decrescente, então:

${\text{osc}}_{[a,b]}(f)=f(b)-f(a)$

• Se $f$ é um função não crescente, então:

${\text{osc}}_{[a,b]}(f)=f(a)-f(b)$

Variação em uma partição

Seja $f:D\to ℝ$ uma função real. Definimos a variação de $f$ em um partição $P:=\{x_0:=a,x_1,x_2,\dots ,x_{n-1},x_n:=b\}$ de um intervalo $[a,b]$ contido em $D$ como:

• ${\text{var}}_P(f):=\sum _{i=1}^n|f(x_i)-f(x_{i-1})|$

Propriedades

1. Seja P uma partição cujos extremos são $x_0=a$ and $x_n=b$ e seja $f:D\to ℝ$ uma função real definida em um domínio $D\supset [a,b]$ então:

${\text{var}}_P(\alpha f)=|\alpha |{\text{var}}_P(f),\mathrm{\forall }\alpha \in ℝ$

Demonstração

Imediato da definição.

2. Seja P uma partição cujos extremos são $x_0=a$ and $x_n=b$ e seja $f:D\to ℝ$ uma função monótona definida em um domínio $D\supset [a,b]$ então:

${\text{var}}_P(f)=|f(a)-f(b)|$

Demonstração

Considere, sem perda de generalidade, que $f$ é uma função crescente, da definição de variação temos:

${\text{var}}_P(f):=\sum _{i=1}^n|f(x_i)-f(x_{i-1})|$

Como $x_i\ge x_{i-1}$, temos que $|f(x_i)-f(x_{i-1})|=f(x_i)-f(x_{i-1})\ge 0$, logo:

${\text{var}}_P(f):=\sum _{i=1}^{n}f(x_i)-f(x_{i-1})=f(x_n)-f(x_0)=f(b)-f(a)=|f(a)-f(b)|$

3. Seja P uma partição cujos extremos são $x_0=a$ and $x_n=b$ e sejam $f:D\to ℝ$ e $g:D\to ℝ$ funções reais definidas em um domínio $D\supset [a,b]$ então:

${\text{var}}_P(f+g)\le {\text{var}}_P(f)+{\text{var}}_P(g)$

Demonstração

$\begin{array}{ccc}{\text{var}}_P(f+g)& :=& \sum _{i=1}^n|f(x_i)+g(x_1)-f(x_{i-1})-g(x_{i-1)}|\\ & \le & \sum _{i=1}^n(|f(x_i)-f(x_{i-1})|+|g(x_i)-g(x_{i-1})|)\\ & =& {\text{var}}_P(f)+{\text{var}}_P(g)\end{array}$

4. Seja P uma partição cujos extremos são $x_0=a$ and $x_n=b$ e $f:D\to ℝ$ uma função real definida em um domínio $D\supset [a,b]$ então, se P' é um refinamento de P

${\text{var}}_{P}f\le {\text{var}}_{P^{\prime }}(f)$

Demonstração

Sem perda de generalidade, considere que P' é um refinamento de P pela inclusão de um único ponto $x_{k-1}\le x^{\prime }\le x_k$. Como a seguinte desigualdade é válida:

$|f(x_{k-1})-f(x_k)|\le |f(x_{k-1})-f(x^{\prime })|+|f(x^{\prime })-f(x_k)|$

o resultado segue.

Variação total

Seja $f:D\to ℝ$ uma função real. Definimos a variação de $f$ em um intervalo $[a,b]$ contido em $D$ como:

• ${\text{var}}_{[a,b]}(f):=\underset{P\in \mathbb{P}}{\sup }{\text{var}}_P(f)$

O supremo é tomado em $\mathbb{P}$, o conjunto de todas as possíveis partições de $[a,b]$.

Propriedades

As seguintes propriedades são de demonstração imediata, aparir da definição de supremo e das propriedades já demonstradas para a variação em uma partição.

1. Se $f$ é um função monótona, então:

${\text{var}}_{[a,b]}(f)=|f(a)-f(b)|$

2. Se $f$ uma função real, então:

${\text{var}}_{[a,b]}(f)\ge {\text{var}}_{[c,d]}(f)$, sempre que $a\le c\le d\le b$.

3. Se $f$ e $g$ são funções reais, vale

${\text{var}}_{[a,b]}(f+g)\le {\text{var}}_{[a,b]}(f)+{\text{var}}_{[a,b]}(g)$,

4. Se $f$ uma função real, então:

${\text{var}}_{[a,b]}(\alpha f)=|\alpha |{\text{var}}_{[a,b]}(f),\mathrm{\forall }\alpha \in ℝ$,

5. Se $f$ uma função real, então:

${\text{var}}_{[a,c]}(f)={\text{var}}_{[c,b]}(f)+{\text{var}}_{[b,c]}(f),\mathrm{\forall }c\in [a,b]$,

Função de variação limitada

Diz-se que uma função real $f:D\to ℝ$ é de variação limitada em um intervalo $[a,b]$ se e somente se:

${\text{var}}_{[a,b]}(\alpha f)\le \mathrm{\infty }$

Teorema

Seja $f:D\to ℝ$ uma função de classe $C^1[a,b]$, então:

${\text{var}}_{[a,b]}(f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f^{\prime }(x)|dx$

Demontração

Primeiro observamos que se $P$ é uma partição do intervalo $[a,b]$, podemos escrever, usando o teorema do valor médio:

${\text{var}}_{P}f=\sum _{i=1}^n|f(x_i)-f(x_{i-1})|=\sum _{i=1}^n|f^{\prime }(x_i^{*})|(x_i-x_{i-1}),x_i^{*}\in (x_{i-1},x_i)$

Da definição de variação total, podemos inferir a existência de uma seqüência de partições $P_k=(x_0^k,x_1^k,\dots ,x_{n_k}^k),$ tal que:

$0\le {\text{var}}_{[a,b]}(f)-{\text{var}}_{P_k}(f)\le 1/k$

Como a variação não decresce com o refino da partição, pode supor que comprimento das partições $P_k$ está convergindo para zero. Assim:

${\text{var}}_{[a,b]}(f)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\text{var}}_{P_k}(f)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^{n_k}|f^{\prime }(x_i^k*)|(x_i^k-x_{i-1}^k)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f^{\prime }(x)|dx$

Teorema

Uma função é de variação limitada se e somente se pode ser escrita como a diferença de duas funções não decrescentes.

Demontração

a.Seja $f:D\to ℝ$ uma função de variação limitada em $D$. Define-se a função $F:D^2\to ℝ$ da seguinte forma:

$F(x_0,x)=\{\begin{array}{cc}{\text{var}}_{[x_0,x]}(f),& x_0\le x\\ -{\text{var}}_{[x_0,x]}(f),& x_0>x\end{array}$

Fixando um $x_0\in D$ é uma função não decrescente em $x$.

Agora define-se:

$\begin{array}{c}p(x)=\frac{1}{2}[F(x_0,x)+f(x)]\\ \\ q(x)=\frac{1}{2}[F(x_0,x)-f(x)]\end{array}$.

É fácil ver que $f(x)=p(x)-q(x)$. Resta-nos provar que tanto $p(x)$ como $q(x)$ são funções não decrescentes. Para tal, seja $y>x$ e fazemos a seguinte estimativa:

$\begin{array}{ccc}p(y)-p(x)& =& \frac{1}{2}[F(x_0,y)+f(y)]-\frac{1}{2}[F(x_0,x)+f(x)]\\ & =& \frac{1}{2}[F(x_0,y)-F(x_0,x)]+\frac{1}{2}[f(y)-f(x)]\\ & =& \frac{1}{2}\left[{\text{var}}_{[y,x](f)}\right]+\frac{1}{2}[f(y)-f(x)]\ge 0\end{array}$

Da penúltipla para a última linha usamos $F(x_0,y)-F(x_0,x)={\text{var}}_{[x_0,y](f)}-{\text{var}}_{[x_0,x](f)}={\text{var}}_{[x,y](f)}$ e depois observamos que ${\text{var}}_{[x,y](f)}\ge |f(x)-f(y)|$.

A demontração sendo perfeitamente análoga para a função $q(x)$, o resultado segue.

Existência de uma função contínua que não é de variação limitada

Considere a função:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}x\cos \left(\frac{\pi }{x}\right),& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$

Esta função não é de variação limitada no intervalo $[0,1]$. Para provar isso considere o seguintes pontos:

$x_n=\frac{1}{n+1},f(x_n)=\frac{1}{n+1}(-1{)}^n,n=0,1,2,\dots$

Assim

$|f(x_n)-f(x_{n-1})|=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}>1/n,n=1,2,3,\dots$

Portanto, ${\text{var}}_{[0,1]}(f)\ge \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=+\mathrm{\infty }$