Análise real/Espaços métricos

Um espaço métrico (X,d) é um conjunto X dotado de uma função $d:X^2\to 𝐑$ chamada métrica ou distância que associa a cada par de elementos de X uma distância entre eles. Esta distância deve satisfazer os seguintes axiomas:

• $d(x,y)$ é um número real, não negativo e finito
• $d(x,y)=0\iff x=y$
• $d(x,y)=d(y,x)$ (simetria)
• $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$ (desigualdade triangular)

Exemplos

• O espaço vetorial euclidiano $({ℝ}^n,d)$, onde $d((x_1,\dots ,x_n),(y_1,\dots ,y_n))=\sqrt{(y_1-x_1{)}^2+\cdots +(y_n-x_n{)}^2}$, é um espaço vetorial de dimensão $n$
  • É importante notar que a distância acima definida não é a única que satisfaz os axiomas de espaço métrico; porém, pela sua importância, ela é considerada a métrica canônica no ${ℝ}^n$. Outras métricas são:
  • $d((x_1,\dots ,x_n),(y_1,\dots ,y_n))=\max (|y_1-x_1|,\cdots ,|y_n-x_n|)$
  • $d((x_1,\dots ,x_n),(y_1,\dots ,y_n))=|y_1-x_1|+\cdots +|y_n-x_n|$

• $(X,d)$, onde $d(x,y)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{se }x=y\\ 1,& \text{se }x\ne y\end{array}$ é denominado de espaço métrico discreto.

• Qualquer subconjunto de um espaço métrico é um espaço métrico (para a mesma distância)

Convergência em espaços métricos

Diz-se que uma sequência de pontos $x_n\in X$ converge para um ponto $x\in X$ se e somente se:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }d(x,x_n)=0$

Diz-se que uma sequência de pontos $x_n\in X$ é de Cauchy se para todo $\epsilon >0$, existe um N tal que

$d(x_n,x_m)<\epsilon ,\mathrm{\forall }n,m>N$

Proposição: toda sequência convergente é de Cauchy.

Um espaço métrico é dito completo se todo sequência de Cauchy é convergente.

Teorema: Um subconjunto fechado de um espaço métrico completo é um espaço métrico completo.

Ver também

Espaço métrico (topologia)

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