Matemática elementar/Polinômios/Exercícios

A seguir são sugeridos alguns exercícios sobre fatoração de polinômios.

Fatore os seguintes polinômios: <quiz display=simple> { $2x+2y$ |type="{}"} { 2(x+y) (i) }

{ $ax+ay$ |type="{}"} { a(x+y) (i) }

{ $12x-6y$ |type="{}"} { 6(2x-y) (i) }

{ $x^2-y^2$ |type="{}"} { (x-y)(x+y) (i)|(x+y)(x-y) (i)|(x-y)*(x+y) (i)|(x+y)*(x-y) (i) }

{ $4a^2-b^2$ |type="{}"} { (2a-b)(2a+b) (i)|(2a+b)(2a-b) (i)|(2a-b)*(2a+b) (i)|(2a+b)*(2a-b) (i) }

{ $ax+ay+2x+2y$ |type="{}"} { (a+2)(x+y) (i)|(x+y)(a+2) (i)|(a+2)*(x+y) (i)|(x+y)*(a+2) (i) }

{ $x^2-2ax+a^2$ |type="{}"} { (a-x)^2 (i) }

{ $a^2{x}^3-b{x}^2+a^{2}x-b$ |type="{}"} { -(x^2+1)(b-a^2 x) (i)|-(b-a^2 x)(x^2+1) (i)|-(x^2+1)*(b-a^2 x) (i)|-(b-a^2 x)*(x^2+1) (i) }

{ $4x^3-6x^2+2x-3$ |type="{}"} { (2 x-3)(2 x^2+1) (i)|(2 x^2+1)(2 x-3) (i)|(2 x-3)*(2 x^2+1) (i)|(2 x^2+1)*(2 x-3) (i) }

{ $a^2-6a+9$ |type="{}"} { (a-3)^2 (i) }

{ $x^{2}y-y-2x^2+2$ |type="{}"} { (x-1)(x+1)(y-2) (i)|(x+1)(x-1)(y-2) (i)|(x-1)*(x+1)*(y-2) (i)|(x+1)*(x-1)*(y-2) (i) }

{ $x^4-16a^4$ |type="{}"} { -(2a-x)(2a+x)(4a^2+x^2) (i)|-(2a-x)*(2a+x)*(4a^2+x^2) (i) }

{ $a^2{x}^3-b^{2}x$ |type="{}"} { -x(b-ax)(ax+b) (i)|-x(ax+b)(b-ax) (i)|-x*(b-ax)*(ax+b) (i)|-x*(ax+b)*(b-ax) (i) }

{ $3a^2{x}^3-6a{x}^2+ax-2a$ |type="{}"} { a(3ax^3-6x^2+x-2) (i) }

{ $2x^2+4xy+2y^2$ |type="{}"} { 2(x+y)^2 (i) }

{ $a{x}^3+ayz+a{z}^2$ |type="{}"} { a (x^3+yz+z^2) (i) }

{ $3a{x}^2-18ax+27a$ |type="{}"} { 3a(x-3)^2 (i) }

{ $a^{2}x+2abx+b^{2}x$ |type="{}"} { x(a+b)^2 (i) }

{ $x^4-8x^2+16$ |type="{}"} { (x-2)^2(x+2)^2 (i) }

{ $2x^2{y}^2-4x{y}^2+2y^2-2x^2+4x-2$ |type="{}"} { 2(x-1)^2(y-1)(y+1) (i)|2*(x-1)^2*(y-1)*(y+1) (i) } </quiz>

Para fatorar os polinômios indicados nos próximos exercícios, é necessário conhecer a solução da equação do segundo grau: <quiz display=simple> { $x^2-13x+30$ |type="{}"} { (x-10)(x-3) (i)|(x-3)(x-10) (i)|(x-10)*(x-3) (i)|(x-3)*(x-10) (i) }

{ $2x^2-5x+2$ |type="{}"} { (x-2)(2 x-1) (i)|(2 x-1)(x-2) (i)|(x-2)*(2 x-1) (i)|(2 x-1)*(x-2) (i) }

{ $y^2+11y+30$ |type="{}"} { (y+5)(y+6) (i)|(y+6)(y+5) (i)|(y+5)*(y+6) (i)|(y+6)*(y+5) (i) }

{ $x^4-13x^2+36$ |type="{}"} { (x-3)(x-2)(x+2)(x+3) (i) }

{ $x^2-x-1$ |type="{}"} { -1/4 (-2 x+sqrt(5)+1) (2 x+sqrt(5)-1) (i) }</quiz>

Respostas

O leitor pode conferir as respostas dos exercícios anteriores digitando-as nos campos indicados e clicando em "Enviar". As respostas fornecidas utilizam o asterisco * para representar a multiplicação, ou então a simples justaposição das expressões. Devido a uma limitação do sistema utilizado na produção do questionário acima, pode acontecer que ele acuse incorretamente um erro quando sua resposta diferir da que foi indicada apenas por causa da ordem um termo da resposta. Em caso de dúvida, também pode conferir as respostas utilizando um dos diversos softwares de álgebra computacional existentes (se quiser uma uma lista de aplicativos deste tipo, pode consultar esta página da Wikipédia inglesa).

Por exemplo, com o programa Predefinição:W consegue-se o resultado da fatoração de $3a{x}^2-18ax+27a$ inserindo o comando

factor (3*a*x^2 - 18*a*x + 27*a);

Também é possível obter a resposta utilizando ferramentas gratuitas disponíveis na internet, como o Predefinição:W. Basta usar o mesmo comando factor seguido do polinômio que deseja fatorar, e a resposta é calculada em seguida. Veja as respostas para alguns dos exercícios acima, calculadas pelo Wolfram Alpha:

• $2x+2y$
• $3a{x}^2-18ax+27a$

As respostas dos demais exercícios é obtida de maneira análoga.