Análise real/Limites

Definição

Lembrar que uma função de um conjunto X para um conjunto Y é uma aplicação $f:X\mapsto Y$ tais que f(x) é o único elemento de Y para cada $x\in X$. Na análise, temos tendência para falar de funções a partir de subconjuntos $A\subseteq ℝ$ para $ℝ$.

A definição para o limite de uma função é quase a mesma que a definição de uma seqüência. De fato, como veremos mais adiante, é possível definir limites funcionais, em termos de limites seqüenciais. Para o momento, porém, vamos apenas dar a definição:

Dado um subconjunto $A\subset ℝ$ e uma função $f:A\mapsto ℝ$, nós dizemos que o $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L,se\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0;\mathrm{\forall }x\in D_f,0<|x-c|<\delta ⟹|f(x)-L|<ϵ$

A exigência $0<|x-c|$ é um pouco técnico. É uma expressão que da a idéia de que o comportamento de uma função perto de um ponto não deve ser prejudicado pelo seu comportamento no ponto. Desta forma f(x) não precisa ser definida em c para ter um limite aí.

Esta definição dá um monte de problemas para um monte de gente, por isso é melhor passar algum tempo intrigante com isso, exemplos de trabalho, etc. Uma forma de conceituar a definição é esta: $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$ significa que nós podemos fazer f(x) tão próximo quanto gostarmos de L, fazendo x perto de c.

Limite em um ponto de acumulação

Sejam $f:A\to ℝ$ uma função definida em um conjunto $A\subseteq ℝ$ e $x_0\in A^{\prime }$. Diz-se que existe o limite de $f(x)$ quando $x$ tende a $x_0$ e denota-se por:

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$

quando existe um $L\in ℝ$ com a propriedade de que, para todo $\epsilon >0$, existe um $\delta >0$ tal que:

$0<|x-x_0|\le \delta ⟹|f(x)-L|<\epsilon$

Observe cuidadosamente que $f(x_0)$ não precisa estar definido e, quando está, não necessariamente vale

$f(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$.

Teorema (Unicidade do limite)

Seja $A\subseteq \mathbb{Q},f:A\mapsto ℝ,x_0\in A^{\prime }$.
Se $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=L_{1}e\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=L_2$, então $L_1=L_2$

Prova

Pela definição de limite temos

• (1)$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0;x\in A;|x-x_0|<{\delta }_1⟹|f(x)-L_1|<\frac{ϵ}{2}$
• (2) $\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0;x\in A;|x-x_0|<{\delta }_2⟹|f(x)-L_2|<\frac{ϵ}{2}$

Seja $\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}$. Como $x_0\in A^{\prime }$ logo $\mathrm{\exists }{x}_{\delta }\in (x-\delta ,x+\delta )$
De fato $x_0\in (x-\delta ,x+\delta )$.
$|L_1-L_2|=|L_1-f(x)+f(x)-L_2|<|L_1-f(x)|+|f(x)-L_2|<ϵ$

$$

Teorema (do Confronto aplicado no limite)

Sejam $D\subseteq \mathbb{Q},f,g,h:D\mapsto ℝ,x_0\in D^{\prime }$.

• $Sef(x)<g(x)<h(x),\mathrm{\forall }x\in D-\{a\}e\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }h(x)=L$, então $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=L$

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=L⟹\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }{\delta }_1>0;x\in D;|x-x_0|<{\delta }_1⟹L-ϵ<f(x)<L+ϵ$

$\underset{x\to x_0}{\lim }h(x)=L⟹\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }{\delta }_2>0;x\in D;|x-x_0|<{\delta }_2⟹L-ϵ<h(x)<L+ϵ$

$x\in D,\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}⟹|x-x_0|<\delta ⟹L-ϵ<f(x)<g(x)<h(x)<L+ϵ⟹\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=L$

Limite Sequencial

Poderíamos muito bem ter dado a seguinte definição do limite:

Dado um subconjunto $A\subset ℝ$ e uma função $f:A\to ℝ$, dizemos que o $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$ se $\mathrm{\forall }(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ tal que $x_n=c,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(x_n)=c$, e $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(f(x_n))=L$

Note-se que o requisito $x_n=c$ corresponde com a exigência $|x-c|>0$.

Como um exercício para testar sua compreensão, prove que estas duas definições são equivalentes. Note-se que tendo o contrapositive dá um bom critério para determinar se ou não uma função diverge:

Se $\mathrm{\exists }(x_n),(y_n):(x_n)\to c,(y_n)\to c$, e $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(f(x_n))=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(f(y_n))$, então $\underset{x\to c}{\lim }f(x)$ não existe.

Comportamento de uma Função Composta sendo aplicado a um limite

Seja $D,E\subset ℝ$

$$

Limites no infinito

Podemos definir o que significa para uma função divergir para o infinito, e o que significa para uma função ter um limite no infinito:

• Dizemos que $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$ se $\mathrm{\forall }M>0:\mathrm{\exists }\delta :0<|x-c|<\delta ⟹f(x)>M$.

• Dizemos que $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$ se $\mathrm{\forall }M>0:\mathrm{\exists }\delta :0<|x-c|<\delta ⟹f(x)<-M$

• Dizemos quet $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=L$ se $\mathrm{\forall }ϵ>0:\mathrm{\exists }M:x>M⟹|f(x)-L|<ϵ$.

• Dizemos quet $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=L$ se $\mathrm{\forall }ϵ>0:\mathrm{\exists }M:x<-M⟹|f(x)-L|<ϵ$.

Como exercício, veja se você pode definir o que significa para uma função ter limite $\mathrm{\infty }$ como $x\to \mathrm{\infty }$.