Análise real/Convergência pontual

O conceito de convergência de funções é fundamental para a análise real. O critério de convergência pontual, também chamado de convergência ponto a ponto ou convergência simples é um dos muitos critérios diferentes de convergências para uma família de funções.

Definição

Seja $D\in ℝ$ um conjunto e $f_n:D\to ℝ$ uma seqüência de funções reais definidas no domínio $D$.

Diz que $\{f_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ converge quando existe uma função $f:D\to ℝ$ tal que para cada ponto $x\in D$ a seqüência numérica $f_n(x)$ converge para $f(x)$. Ou, na notação de limites:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=f(x),\mathrm{\forall }x\in D$

Equivalentemente, diz-se que $\{f_n\}$ converge para $f$ em $D$ se para todo $\epsilon >0$ e todo $x\in D$ existe um $N$ tal que

• $|f_n(x)-f(x)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }n\ge N$

Exemplos

Exemplo 1

Seja a seguinte seqüência de funções:

• $f_n(x)=\frac{x}{n},x\in ℝ,n=1,2,3,\dots$

É fácil ver que:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=0$

Exemplo 2

Deve-se observar que o limite pontual de funções contínuas não é necessariamente uma função contínua. Um exemplo deste fenômeno pode ser observado na seguinte seqüência de funções:

• $f_n(x)=\frac{1}{1+|x{|}^n},x\in ℝ,n=1,2,3,\dots$

cujo limite é dado por:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=\{\begin{array}{cc}1,& |x|<1\\ 1/2,& |x|=1\\ 0,& |x|>1\end{array}$

Exemplo 3

Algumas seqüências de funções podem ter um comportamento bastante peculiar, como a seguinte:

• $f_n(x)={\cos }^{2n}(m!\pi x)x\in ℝ,n=1,2,3,\dots$

cujo limite é dado por:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=\{\begin{array}{cc}1,& m!x\in \mathbb{Z}\\ 0,& \text{c.c.}\end{array}$

Exemplo 4

Veja mais um exemplo peculiar de convergência:

• $f_n(x)=\{\begin{array}{c}0,x<n\\ 1,x\ge n\end{array}$