Topologia/Espaços topológicos

Topologia

Seja $X$ um conjunto não-vazio e $\tau$ um conjunto formado por partes de $X$. Se $\tau$ possuir as seguintes propriedades:

1. $X,\varnothing \in \tau$;
2. Se $A,B\in \tau$, então $A\cap B\in \tau$;
3. Se $(A_{\lambda }{)}_{\lambda \in L}$ é uma família tal que $A_{\lambda }\in \tau \mathrm{\forall }\lambda \in L$, então ${\bigcup }_{\lambda \in L}{A}_{\lambda }\in \tau$;

dizemos que $\tau$ é uma topologia em $X$ e que o par $(X,\tau )$ é um espaço topológico. Chamamos os elementos de $\tau$ de abertos. Sendo $A$ um aberto, a $X-A$ chama-se um fechado, isto é, F é fechado se $X-F$ é um elemento da topologia.

Como se vê, a intersecção finita de abertos é um aberto e a união arbitrária de abertos é um aberto. Não se garante no entanto que a intersecção infinita de abertos seja um aberto. Como se verá, na maior parte dos casos não é assim.

Sendo τ₁, τ₂ duas topologias em X, diz-se que τ₁ é menor que τ₂ ou que τ₂ é maior que τ₁ se, e somente se, τ₁ ⊆ τ₂, isto é, um aberto segundo τ₁ é também aberto segundo τ₂.

Exemplos

Seja X um conjunto. Então:

1. $\{\mathrm{\varnothing },X\}$ é uma topologia em $X$. Na verdade é a menor das topologias que se pode definir em $X$. A esta topologia chama-se a topologia indiscreta, antidiscreta ou topologia caótica em $X$.
2. $\mathrm{\wp }(X)$, o conjunto das partes de $X$, é uma topologia em $X$. Na verdade é a maior das topologias que se pode definir em $X$. A esta topologia chama-se a topologia discreta em $X$.
3. $\{X-A:A\text{ é finito}\}$ é uma topologia em $X$ que se chama topologia cofinita em $X$. Note-se que, se $X$ é finito, esta topologia no fim de contas é a topologia discreta. A topologia cofinita é um exemplo de topologia que não possui a propriedade de Hausdorff. Note que, se $X$ é finito, a topologia cofinita é a topologia discreta e se X é infinito não é possível construir uma topologia em que os abertos são finitos.
4. $\{X-A:A\text{ é parte contável de }X\}$ é uma topologia em $X$ que se chama topologia cocontável. Note-se que, se $X$ é contável, esta topologia no fim de contas é a topologia discreta. Note ainda que, se $X$ é não-contável, não é possível construir uma topologia em que os abertos são contáveis.
5. Seja $B_r(x):=\{y\in {ℝ}^n:\Vert x-y\Vert <r\}$. O conjunto $\tau =\{X\subset {ℝ}^n:\mathrm{\forall }x\in X,\mathrm{\exists }r>0\mid B_r(x)\subset X\}$ é uma topologia sobre o conjunto ${ℝ}^n$.

"Topologia" segundo os fechados

Sejam X um espaço topológico e σ o conjunto dos fechados em X. Então:

1. X,Ø ∈ σ;
2. Para A,B ∈ σ, vem que $A\cup B\in \sigma$;
3. Para uma família (A_i)_i em σ, vem que ${\bigcap }_i{A}_i\in \sigma$.

Como se vê, os fechados seguem regras parecidas às que os abertos seguem, mas tendo em conta a complementação. Na verdade pode-se definir essa espécie de "topologia" começando por definir os fechados e definir mais tarde os abertos como os seus complementares.

$F_{\sigma }$ e $G_{\delta }$

Sendo X espaço topológico, às uniões contáveis de fechados chama-se F_σ e às intersecções contáveis de abertos chama-se G_δ. Em geral um F_σ não é fechado e um G_δ não é aberto, no entanto um fechado é um F_σ e um aberto é um G_δ.

Note-se que a união contável de F_σ 's é um F_σ, a intersecção arbitrária de F_σ 's é um F_σ, a união arbitrária de G_δ 's é um G_δ e a intersecção contável de G_δ 's é um G_δ.

A união finita de fechados é um fechado. Mas se se passar à união numerável, pode já não ser. Aqui não se quis considerar a união arbitrária de fechados. O que sucederia em tal caso? Em Topologia, como se verá, considerar famílias contáveis ou incontáveis de objectos topológicos delineia uma raia muito importante. Quando, para descrever e trabalhar numa topologia, basta apenas considerar famílias contáveis de objectos, tem-se uma topologia na qual é muito fácil trabalhar. Quando famílias contáveis não chegam, depara-se a todo o momento com problemas intratáveis.

Para aquilo que é a maioria das aplicações da Topologia, na Análise em particular, as topologias que verificam um certo grau de contabilidade são mais do que suficientes.