Guia de problemas matemáticos/Equações e inequações/Valores do parâmetro

O problema

Considere a equação x² - 6x + m² - 1 = 0, com parâmetro m inteiro não nulo. Se essa equação tem duas raízes reais e distintas com o número 4 compreendido entre essas raízes, calcule o produto de todos os possíveis valores de m.

Uma solução

Para resolvermos esse problema, pecisamos conhecer algumas propriedades do discrimante ($\mathrm{\Delta }$):

Se $\mathrm{\Delta }$ > 0, então a equação tem duas raízes reais e distintas;

se $\mathrm{\Delta }$ = 0, então a equação possui duas raízes reais e iguais;

se $\mathrm{\Delta }$ < 0, então a equação não possui raízes reais.

Como o problema informou que a equação possui duas raízes reais e distintas, temos que:

$\mathrm{\Delta }$ > 0

Como $\mathrm{\Delta }$ = b² - 4ac, com a sendo o coeficiente de x², b sendo o coeficiente de x e c o termo independente, podemos escrever o seguinte:

b² - 4ac > 0 → 36 - 4.1.(m² - 1) > 0 → -4m² + 40 > 0 → m² < 10

Note que relação acima chegamos numa inequação do segundo grau, na qual a > 0. Portanto, a parábola dessa equação é voltada para cima e, conseqüentemente, o conjunto solução encontra-se entre suas raízes (quando o gráfico da parábola fica abaixo do eixo das abcissas). Portanto:

$-\sqrt{10}\le m\le \sqrt{10}$

Porém, foi-nos informado que m é inteiro. Como o inteiro mais próximo da raiz quadrada de 10 é 3:

$-3\le m\le 3$

Agora, vamos trabalhar com a as raízes da equação inicial. Como ainda não sabemos o valor de m, vamos calculá-las em função desse parâmetro:

$x=\frac{6\pm \sqrt{36-4.1.(m^2-1)}}{2}=\frac{6\pm \sqrt{4.(10-m^2)}}{2}=3\pm \sqrt{10-m^2}$

Como nós já sabemos que m é inteiro e não nulo, vamos testar todas as possibilidades para esse parâmetro (note que no resultado das raízes da equação em função de m, esse parâmetro foi elevado ao quadrado. Portanto, não importa se m vale -n ou +n, seu valor será n²):

$m=\pm 3⟶x=3\pm \sqrt{10-9}$ (não serve, pois uma das raízes será 4; o enunciado informou que o número 4 está entre as raízes, não sendo uma delas)

$m=\pm 2⟶x=3\pm \sqrt{10-4}⟶x=3\pm \sqrt{6}$ (confere...)

$m=\pm 1⟶x=3\pm \sqrt{10-1}⟶x=0$ ou x = 6 (também confere...)

Portanto, temos que S_m = {-2,-1,1,2}. Sendo assim, o produto de todos os valores possíveis para m é 4.

E assim terminamos o problema.

Caso você tenha uma outra solução, sinta-se livre para editar o artigo, apenas utilize a aba "Discussão" para discutir as soluções antes de alterar o tópico. Sinta-se livre também para comentar, criticar ou sugerir qualquer coisa.

Agradecimentos

• A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.