Guia de problemas matemáticos/Geometria plana/Secção no Trapézio

O problema

Em um trapézio, cujas bases medem a e b, os pontos M e N pertencem aos lados não-paralelos. Se MN divide em dois outros trapézios equivalentes, calcule a medida de MN em função de a e b.

Uma solução

Para melhor visualização do problema e da solução, eis uma imagem ilustrativa:

Imagem ilustrativa.

Bom, o enunciado informou que os trapézios obtidos serão equivalentes. Se isso ocorre, os trapézios obtidos possuem a mesma área, ou seja, metade da área do trapézio inicial. Podemos notar ainda que a altura do trapézio inicial será dada pela soma das alturas dos trapézios obtidos com o seccionamento. Então, vamos encontrar o valor dessas alturas!

$\left(I\right)A=\frac{(a+b).H}{2}⟶\frac{1}{A}=\frac{2}{(a+b).H}⟶H=\frac{2A}{a+b}$

$\left(II\right)\frac{A}{2}=\frac{(b+\overline{MN}).h_1}{2}⟶\frac{2}{A}=\frac{2}{(b+\overline{MN}).h_1}⟶h_1=\frac{A}{b+\overline{MN}}$

$\left(III\right)\frac{A}{2}=\frac{(a+\overline{MN}).h_2}{2}⟶\frac{2}{A}=\frac{2}{(a+\overline{MN}).h_2}⟶h_2=\frac{A}{a+\overline{MN}}$

Agora, como a soma das alturas dos trapézios menores resultará na altura do trapézio maior:

$H=h_1+h_2$

$\frac{2A}{a+b}=\frac{A}{\overline{MN}+a}+\frac{A}{\overline{MN}+b}$

Pronto. Agora todos os fatores A podem ser "cortados". Note também que, do lado direito da igualdade, o MMC (Mínimo Múltiplo Comum) será (MN + a).(MN + b):

$\frac{2}{a+b}=\frac{a+b+2\overline{MN}}{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{MN}}+(a+b)\overline{MN}+ab}⟶{(a+b)}^2+2\overline{MN}.(a+b)=2\stackrel{2}{\stackrel{‾}{MN}}+2\overline{MN}.(a+b)+2ab$

$2\stackrel{2}{\stackrel{‾}{MN}}=a^2+2ab+b^2-2ab⟶\stackrel{2}{\stackrel{‾}{MN}}=\frac{a^2+b^2}{2}⟶\overline{MN}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

E assim terminamos o problema.

Caso você tenha uma outra solução, sinta-se livre para editar o artigo, apenas utilize a aba "Discussão" para discutir as soluções antes de alterar o tópico. Sinta-se livre também para comentar, criticar ou sugerir qualquer coisa.

Agradecimentos

• A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.