Probabilidade e Estatística/Espaços amostrais finitos

Construindo probabilidades em espaços amostrais finitos

Vamos começar agora, na prática, a calcular probabilidades de eventos. Consideremos o espaço amostral $𝒮$ finito. É o caso mais simples, e a partir dele poderemos desenvolver as idéias da seção anterior. Assim, podemos considerar:

$𝒮=\{x_1,x_2,x_3,...,x_n\}$

Já observamos anteriormente que $\mathrm{\Psi }$ é uma classe formada por todos os subconjuntos de $𝒮$. Precisamos contruir $𝒫$, uma probabilidade definida em $\mathrm{\Psi }$. Vamos começar observando que, $\mathrm{\forall }𝑖=1,...,𝑛$, com $𝑛\in \mathbb{N}$, se $\left\{x_{𝑖}\right\}$ é um evento do espaço amostral $𝒮$, então podemos definir a probabilidade de $\left\{x_{𝑖}\right\}$ ocorrer como um número ${𝑝}_{𝑖}\in ℝ$ tal que $P\left(\left\{x_{𝑖}\right\}\right)={𝑝}_{𝑖}$.

Podemos notar que $𝒮=\bigcup _{𝑖=1}^{𝑛}\left\{x_{𝑖}\right\}$.

Além disso, o ${𝑝}_{𝑖}$ deve ser escolhido de modo que $0\le {𝑝}_{𝑖}\le 1$, pois, como já vimos, uma probabilidade possui valores sempre entre $0$ e $1$.

De modo que:

$\sum _{𝑖=1}^{𝑛}{𝑝}_{𝑖}=\sum _{𝑖=1}^{𝑛}P\left(\left\{x_{𝑖}\right\}\right)=P\left(𝒮\right)=1$.

Ou seja, a soma de todos os ${𝑝}_{𝑖}$ corresponde à probabilidade do espaço amostral, que já vimos ser igual a $1$.

Agora, consideremos um evento qualquer $𝒜=\{x_{{𝑖}_1},x_{{𝑖}_2},...,x_{{𝑖}_{𝑘}}\}\subset 𝒮$, com $𝑘\in \mathbb{N}$. Temos que $𝒜=\bigcup _{𝑗=1}^{𝑘}\left\{x_{{𝑖}_{𝑗}}\right\}$, ou seja, a união de todos os $\left\{x_{{𝑖}_{𝑗}}\right\}$ constitui um evento $𝒜$, que por sua vez é subconjunto do espaço amostral $𝒮$.

De modo que as probabilidades ${𝑝}_{𝑖}$ devem satisfazer:

$P\left(A\right)=\sum _{𝑗=1}^{𝑘}P\left(\left\{x_{{𝑖}_{𝑗}}\right\}\right)=\sum _{𝑗=1}^{𝑘}{𝑝}_{{𝑖}_{𝑗}}$.

Ou seja, a probabilidade do evento $𝒜$ ocorrer deve ser a soma das probabilidades de todos os elementos escolhidos ao acaso $\left\{x_{{𝑖}_{𝑗}}\right\}$ que compõem o conjunto $𝒜$.

Precisamos, ainda, tornar mais precisa a expressão "escolher ao acaso". Para tanto, consideremos $𝑛$ objetos. Quando afirmamos que escolhemos ao acaso um dos $𝑛$ objetos, isto significa que cada um dos objetos teve a mesma chance de ser escolhido.

Se os resultados particulares do evento $𝒮=\{x_1,x_2,x_3,...,x_n\}$ são igualmente prováveis, ou seja, ${𝑝}_1={𝑝}_2=...={𝑝}_n=𝑝$, decorre que:

$1=𝑛𝑝\to p=\frac{1}{n}$

No caso do evento $𝒜=\{x_{{𝑖}_1},x_{{𝑖}_2},...,x_{{𝑖}_{𝑘}}\}\subset 𝒮$ qualquer, temos:

$P\left(A\right)=\frac{k}{n}$.

Tal modo de enunciar $P\left(A\right)$ é frequentemente encontrado da seguinte forma:

$P\left(A\right)=\frac{\mathrm{n}\acute{\mathrm{u}}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{r}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{A}}{\mathrm{n}\acute{\mathrm{u}}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{s}\acute{\mathrm{i}}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}$

Entretanto, a expressão acima não serve como definição geral de probabilidade. Ela é somente uma consequência do fato de que todos os resultados do evento são equiprováveis, e só deve ser usada quando isto acontecer.

Exemplos

• Consideremos um escritório formado por uma população distribuída da seguinte forma:
  • 3 pessoas são mulheres maiores de 30 anos;
  • 4 pessoas são homens maiores de 30 anos;
  • 5 pessoas são mulheres menores de 30 anos;
  • 4 pessoas são homens menores de 30 anos.

Escolhemos uma pessoa do escritório, ao acaso. Dados os eventos

$𝒜=\left\{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{3}\mathrm{0}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{s}\right\}$

$ℬ=\left\{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{3}\mathrm{0}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{s}\right\}$

$𝒞=\left\{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\right\}$

$𝒟=\left\{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{m}\right\}$

calcule as probabilidades $P(ℬ\cup 𝒞)$ e $P({𝒜}^c\cap {𝒟}^c)$.

Nota: Utilizaremos o símbolo $\mathrm{♯}$ sucedido de um conjunto para denotar o número de elementos do conjunto.

Inicialmente, vamos procurar saber qual o número de elementos de cada conjunto. Podemos notar que $\mathrm{♯}𝒮=16$, $\mathrm{♯}𝒜=9$, $\mathrm{♯}ℬ=7$, $\mathrm{♯}𝒞=8$ e $\mathrm{♯}𝒟=8$.

Assim, torna-se possível descobrir a probabilidade de ocorrência de cada evento, a saber:

$P\left(𝒜\right)=\frac{9}{16}$, $P\left(ℬ\right)=\frac{7}{16}$, $P\left(𝒞\right)=\frac{8}{16}$, $P\left(𝒟\right)=\frac{8}{16}$.

Queremos saber $P(ℬ\cup 𝒞)$, o que corresponde à probabilidade de escolher ou uma pessoa maior de 30 anos, ou uma mulher. Calculando:

$P(ℬ\cup 𝒞)=P\left(ℬ\right)+P\left(𝒞\right)-P(ℬ\cap 𝒞)=\frac{7}{16}+\frac{8}{16}-P(ℬ\cap 𝒞)$

$P(ℬ\cap 𝒞)$ significa a probabilidade de escolher uma pessoa maior de 30 anos e mulher. Do próprio enunciado, sabemos que 3 pessoas são mulheres maiores de 30 anos, então $P(ℬ\cap 𝒞)=\frac{3}{16}$. Portanto,

$P(ℬ\cup 𝒞)=\frac{12}{16}$

Para calcular $P({𝒜}^c\cap {𝒟}^c)$, basta perceber que ${𝒜}^c=ℬ$ e que ${𝒟}^c=𝒞$. Daí tiramos que $P({𝒜}^c\cap {𝒟}^c)=P(ℬ\cap 𝒞)=\frac{3}{16}$, conforme calculamos anteriormente.