Cálculo (Volume 2)/Funções vetoriais

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo III

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Funções e curvas vetoriais

Definição

Sejam a variável escalar $t$ e a função $f(t)$. Dizemos que a mesma é uma função vetorial se as operações representadas por esta submetem a variável escalar a procedimentos que conduzem à reprodução de um vetor.

De fato, se $f(t)$ representa um vetor, podemos decompô-la em $f(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩$ quando a mesma representa um vetor no espaço. Da mesma forma, podemos dizer que $f(t)=x(t)\overrightarrow{i}+y(t)\overrightarrow{j}+z(t)\overrightarrow{k}$

Em outras palavras, uma função vetorial é representada pela forma paramétrica, o que nos habilita a fazer todas as análises que já conhecemos sobre as mesmas do mesmo modo que fizemos para as formas paramétricas. O princípio da interdependência entre as funções membro deve ser considerado todas as vezes que a função precise ser avaliada como existente ou inexistente em um domínio. Todas as funções membro deverão existir no domínio para que a função vetorial exista.

Exemplo 1

Seja a função: $f(t)=\overrightarrow{v}$

onde $\overrightarrow{v}=⟨t^2,\text{sen}(t),\frac{1}{1-t}⟩$

Então, são funções membro de $f(t)$:

• $x(t)=t^2$
• $y(t)=\text{sen}(t)$
• $z(t)=\frac{1}{1-t}$

Uma vez que, quando $t=1\Rightarrow z(t)\mathrm{\exists }$, a função vetorial não existe para este valor do domínio.

Gráficos

Uma vez que as funções vetoriais são representadas parametricamente, seus gráficos podem ser analisados da mesma forma que vimos para as funções paramétricas, funções paramétricas assumem formas diversas e são livremente dispostas sem a necessidade de obedecer o critério de independência para uma das variáveis; o único termo independente de uma função vetorial é o parâmetro, que não é representado no gráfico. Uma vez que devemos analisar o comportamento da função e sua relação com a evolução dos valores do parâmetro, podemos adotar a notação das setas para indicar o sentido em que o parametro evolui, observemos o gráfico:

Observe que os pontos da curva obedecem a seqüência das setas, aqui indicado como o sentido da progressão dos valores do parâmetro.

O vetor posição alocado no ponto $p$ evolui de acordo com o comportamento da função vetorial. Observe que o gráfico é convenientemente semelhante a um sistema polar.

Definimos como curva vetorial, o conjunto de pontos contínuo estabelecido a partir de uma função vetorial. A continuidade é um requisito fundamental para que haja uma curva vetorial, visto que eventuais rupturas de valores em uma função presumem comportamentos inprevisíveis na trajetória da mesma.

Limites

O limite de uma função vetorial para um determinado valor "$a$" é definido como: $\underset{t\to a}{\lim }f(t)=⟨\underset{t\to a}{\lim }x(t),\underset{t\to a}{\lim }y(t),\underset{t\to a}{\lim }z(t)⟩$

Uma vez que o limite da função depende dos limites individuais das funções membro, este só existe caso todos os anteriores existam. Procede-se a análise individual para verificação da condição de existência em todas as funções membro, no referido domínio, antes de definir sua existência ou não.

Exemplo 2

Seja a função vetorial: $f(t)=⟨t^2,\frac{8-t^3}{4-t^2},\ln t⟩$, encontre o limite da função quando $t\to 2$.

O limite da função vetorial é conseguido fazendo-se o limite de cada função membro:

$\underset{t\to 2}{\lim }f(t)=⟨\underset{t\to 2}{\lim }{t}^2,\underset{t\to 2}{\lim }\frac{8-t^3}{4-t^2},\underset{t\to 2}{\lim }\ln (t)⟩$

Imediatamente, temos os limites:

$\underset{t\to 2}{\lim }x(t)=4$

$\underset{t\to 2}{\lim }z(t)=\ln (2)$

Porém, temos uma indefinição no limite:

$\underset{t\to 2}{\lim }y(t)=\underset{t\to 2}{\lim }\frac{8-t^3}{4-t^2}$

Que tende a forma indeterminada $\frac{0}{0}$. Devemos aplicar a regra de L'Hôpital:

$\underset{t\to 2}{\lim }\frac{8-t^3}{4-t^2}=\underset{t\to 2}{\lim }\frac{-3t^2}{-2t}$

$\underset{t\to 2}{\lim }\frac{8-t^3}{4-t^2}=\underset{t\to 2}{\lim }\frac{3t}{2}$

$\underset{t\to 2}{\lim }\frac{8-t^3}{4-t^2}=3$

Portanto, o limite é:

$\underset{t\to 2}{\lim }f(t)=⟨4,3,\ln (2)⟩$

Continuidade

A condição de contiuidade da função vetorial é aplicada segundo o mesmo princípio que utilizamos na definição do limite, ou seja, a função vetorial é contínua se as suas funções membro forem contínuas, mais precisamente, analisamos os valores do limite e da função em cada membro e definimos se a função vetorial resultante é contínua.

Segundo o critério de continuidade de uma função, a função será contínua caso o limite e a função no ponto em questão existam e sejam iguais.

Derivadas

A clássica definição de derivada de uma função também se aplica a funções vetorais, verifiquemos as razões para que o modelo de análise de uma função escalar também pode ser usada em funções de valor vetorial:

Observemos o gráfico abaixo:

O gráfico formal de uma reta secante a uma curva $f(x)$, o valor "h" decresce até que os pontos sejam infinitesimalmente próximos, quando podemos considerar que a reta é tangente à curva.

Este é um gráfico de uma curva bidimensional, como já vimos antes. Nossa meta é definir uma relação equivalente para curvas vetoriais, neste caso adotemos $\overrightarrow{f}(t)$, uma função vetorial que define a curva, então teremos:

$\frac{d\overrightarrow{f}(t)}{dt}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\overrightarrow{f}(t+h)-\overrightarrow{f}(t)}{h}$

Sendo:

$\overrightarrow{f}(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩$

$\frac{d\overrightarrow{f}(t)}{dt}=⟨\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x(t+h)-x(t)}{h},\underset{h\to 0}{\lim }\frac{y(t+h)-y(t)}{h},\underset{h\to 0}{\lim }\frac{z(t+h)-z(t)}{h}⟩$

Quando fazemos a análise sob uma óptica vetorial devemos observar o efeito desta sobre as curvas que são representadas pelas funções componentes que temos na curva vetorial, observemos o gráfico abaixo:

Diferenciais de uma curva vetorial

Neste caso admitimos que $h=\mathrm{\Delta }t$, isto nos sugere que a curva paramétrica (v), quando definida sob a forma vetorial, admite as operações diferenciais que verificamos anteriormente, facilitando a definição do valor da derivada, quando a mesma se torna um conjunto de derivadas das componentes da função vetorial. A componente diferencial $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{f}=\overrightarrow{f}(t+h)-\overrightarrow{f}(t)$ pode ser observada como semelhante à da função bidimensional do gráfico anterior, quando $f$ é uma função vetorial, é operada sob a forma vetorial adquirindo o formato fragmentado nas suas funções componentes $⟨x(t),y(t),z(t)⟩$, quando estas podem ser diferenciadas separadamente, dando orígem a função vetorial derivada: $⟨x{}^{\prime }(t),y{}^{\prime }(t),z{}^{\prime }(t)⟩$. De fato, cada ponto da curva é represendado por um "vetor posição" dos eixos coordenados dependente do parâmetro, esta dependência faz com que cada eixo possua uma função unidimensional própria, que pode ser operada com as regras que já conhecemos. Além das operações que já conhecemos, podemos operar as diferenciais com os operadores vetoriais que vimos anteriormente, para isso as regras de derivação são perfeitamente funcionais.

Um vetor componente em uma curva vetorial é a representação puntual da mesma, a derivada desta função neste ponto é a representação da tendência de evolução da curva em relação ao parâmetro neste ponto. Podemos verificar quais as regras básicas para operar estas funções vetoras na tabela logo abaixo: Sejam as funções vetoriais $\overrightarrow{f}\text{e}\overrightarrow{g}$, considerando o escalar $k$ e a função real $h$,

Caso	Equação
Soma e diferença	$\frac{d}{dt}[\overrightarrow{f}(t)\pm \overrightarrow{g}(t)]=\frac{d}{dt}\overrightarrow{f}(t)\pm \frac{d}{dt}\overrightarrow{g}(t)$
Múltiplo por constante	$\frac{d}{dt}[k\overrightarrow{f}(t)]=k\frac{d}{dt}\overrightarrow{f}(t)$
Múltiplo por função real	$\frac{d}{dt}[h(t)\overrightarrow{f}(t)]=h(t)\frac{d}{dt}\overrightarrow{f}(t)+\frac{d}{dt}h(t)\overrightarrow{f}(t)$
Regra da cadeia	$\frac{d}{dt}\overrightarrow{f}[h(t)]=\frac{d}{dt}h(t)\frac{d}{dt}\overrightarrow{f}[h(t)]$
Produto escalar	$\frac{d}{dt}[\overrightarrow{f}(t)\cdot \overrightarrow{g}(t)]=\overrightarrow{f}(t)\cdot \frac{d}{dt}\overrightarrow{g}(t)+\frac{d}{dt}\overrightarrow{f}(t)\cdot \overrightarrow{g}(t)$
Produto vetorial	$\frac{d}{dt}[\overrightarrow{f}(t)\times \overrightarrow{g}(t)]=\overrightarrow{f}(t)\times \frac{d}{dt}\overrightarrow{g}(t)+\frac{d}{dt}\overrightarrow{f}(t)\times \overrightarrow{g}(t)$

Estas regras são facilmente verificadas se observarmos que são conseqüentes das propriedades das derivadas e dos vetores, as quais já conhecemos, fica como exercício a prova das mesmas.

O versor puntual

É comum termos que referenciar um ponto da curva e verificar a tendência de evolução da curva a partir daquele ponto com base na evolução dos valores do parâmetro. Para isto podemos utilizar o versor tangente ao ponto, sendo $\overrightarrow{f}(t)=\overrightarrow{v}$:

$T(t)=\frac{\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}}{\left|\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}\right|}$

Ou, mais resumidamente, se:

$\frac{\text{d}\overrightarrow{v}}{\text{d}t}=\overrightarrow{f}{}^{\prime }(t)$, podemos fazer:

$T(t)=\frac{\overrightarrow{f}{}^{\prime }(t)}{|\overrightarrow{f}{}^{\prime }(t)|}$

Exemplo 3

Calcular a reta tangente e o seu versor para a curva $\overrightarrow{f}(t)=⟨t^3,t^2,t⟩$ no ponto $P=(1,1,1)$:

Para tal devemos definir o valor do parâmetro para este ponto, que é $1$, depois devemos encontrar a derivada da função vetorial:

$\frac{d\overrightarrow{f}(t)}{dt}=⟨3t^2,2t,1⟩$

Que nos revela o vetor tangente:

$\overrightarrow{v}=⟨3,2,1⟩$

como vetor diretor da reta.

E, finalmente, basta substituir os valores na equação paramétrica da reta, visto que temos o ponto e o vetor diretor:

$\{\begin{array}{c}x=1+3t\\ y=1+2t\\ z=1+t\end{array}$

T48 - Ortogonalidade entre função e derivada

Demonstração

Admitamos $|\overrightarrow{f}(t)|=c$ como sugere o teorema, para este caso temos:

$|\overrightarrow{f}(t){|}^2=c^2$

Por outro lado,

$\frac{d|\overrightarrow{f}(t){|}^2}{dt}=0$

$\frac{d[\overrightarrow{f}(t)\cdot \overrightarrow{f}(t)]}{dt}=0$

$\overrightarrow{f}(t)\cdot \frac{d[\overrightarrow{f}(t)]}{dt}+\overrightarrow{f}(t)\cdot \frac{d[\overrightarrow{f}(t)]}{dt}=0$

$2\overrightarrow{f}(t)\cdot \frac{d[\overrightarrow{f}(t)]}{dt}=0$

O que comprova o teorema.

Integrais

Obviamente, observadas as semelhanças entre funções vetoriais e reais quanto a forma de calcular a derivada, não será difícil deduzir a forma de operarmos a integral das mesmas. Uma vez que a derivada da função vetorial é um vetor cujos componentes são as derivadas das funções que definem as variáveis parametricamente, a integral obedece a mesma regra de tratamento individual das funções componentes, substituindo a operação pela inversa da diferenciação.

Integral definida

Para uma função vetorial tal que:

$\overrightarrow{f}(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩$

A integral definida de uma curva, para o intervalo do parâmetro $(a,b)$ é:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\overrightarrow{f}(t)\text{d}t=⟨\underset{a}{\overset{b}{\int }}x(t)\text{d}t,\underset{a}{\overset{b}{\int }}y(t)\text{d}t,\underset{a}{\overset{b}{\int }}z(t)\text{d}t⟩$

Embasamento

Consideremos que a função vetorial $\overrightarrow{f}(t)$ seja subdividida em subintervalos em relação ao parâmetro, então podemos dizer que, por analogia a funções reais mais simples, podemos fazer o cálculo da integral somando todos as partes $\overrightarrow{f}(t_i)\mathrm{\Delta }{t}_i$, sendo $i$ um contador de índice. Poderemos fazer o cálculo aproximado da integral desta forma:

$F(t)=\sum _{i=0}^n\overrightarrow{f}(t_i)\mathrm{\Delta }{t}_i$

Quando $n$ aumenta e a precisão de $F(t)$ aumenta temos uma convergência dos valores para o valor da integral, o que nos permite dizer que a integral é convergente. Desta forma podemos fazer o cálculo da convergência, segundo o critério que já conhecemos:

$F(t)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=0}^n\overrightarrow{f}(t_i)\mathrm{\Delta }{t}_i$

Agora, podemos invocar a conversão de valores da relação entre largura e número de fatias:

$\mathrm{\Delta }=b-a$

$\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\mathrm{\Delta }t=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }}{n}$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\overrightarrow{f}(t)\text{d}t=⟨\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=0}^{n}x(t_i)\mathrm{\Delta }{t}_i,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=0}^{n}y(t_i)\mathrm{\Delta }{t}_i,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=0}^{n}z(t_i)\mathrm{\Delta }{t}_i⟩$

e teremos a equação coforme a definimos anteriormente.

Integral indefinida

Sob o mesmo raciocínio, não é difícil chegar a conclusão de como calculamos a integral indefinida, certamente a mesma é a antidiferencial de cada função componente, como fazemos para uma função real.

Para a mesma função que definimos anteriormente, a sua integral indefinida será:

$\int \overrightarrow{f}(t)\text{d}t=⟨\int x(t)\text{d}t,\int y(t)\text{d}t,\int z(t)\text{d}t⟩$

Vale lembrar que o processo de simples antidiferenciação não nos fornece a constante $C$ para cada função membro, o que nos obrigará a fazer o estudo das condições iniciais dos eventos que deram orígem à equação para que tenhamos condições de avaliar o seu valor.

Teorema fundamental

Finalmente, podemos utilizaro o T35 - Teorema fundamental do cálculo para cada função componente e calcular a integral definida da função vetorial a partir de suas antidiferenciais.

Seja $\overrightarrow{f}(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩$ e sua antidiferencial $\overrightarrow{F}(t)=⟨X(t),Y(t),Z(t)⟩$, podemos aplicar o teorema fundamental de forma a encontrar a integral definida no intervalo $(a,b)$ do parâmetro, tal que:

$\int \overrightarrow{f}(t)\text{d}t=\overrightarrow{F}(t)$

e

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\overrightarrow{f}(t)\text{d}t=\overrightarrow{F}(b)-\overrightarrow{F}(a)$

Esta forma expande-se facilmente para as funções componentes, o que resulta em:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\overrightarrow{f}(t)\text{d}t=⟨X(b)-X(a),Y(b)-Y(a),Z(b)-Z(a)⟩$

Exemplo 4

Calcular a integral definida da curva $\overrightarrow{f}(t)=⟨\frac{1}{t},t^2,t⟩$ no intervalo do parâmetro: $(1,2)$

Apenas aplicação direta do teorema fundamental:

$\int \overrightarrow{f}(t)\text{d}t=⟨\ln (t),\frac{t^3}{3},\frac{t^2}{2}⟩$

Substituimos os valores:

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\overrightarrow{f}(t)\text{d}t=⟨\ln (2)-0,\frac{8}{3}-\frac{1}{3},2-\frac{1}{2}⟩$

E temos o resultado:

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\overrightarrow{f}(t)\text{d}t=⟨\ln 2,\frac{7}{3},\frac{3}{2}⟩$

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