Álgebra linear/Matrizes

Introdução

O termo matriz pode ser mais conhecido entre programadores e profissionais da informática, como sendo uma estrutura de dados. Em matemática, no entanto, matrizes são consideradas de forma bastante diferente. Predefinição:Definição Logo abaixo, apresenta-se uma matriz. A notação utilizada é bastante comum. Predefinição:Wikipedia

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 10\\ 1& -3& -7\\ 3& 0& 0\\ 5& 5& 0\end{array}\right)$

A matriz acima tem 4 linhas e 3 colunas, então pode ser chamada de matriz 4 × 3 (matriz 4 por 3). Além disso, pode-se ter matrizes de muitas formas diferentes. A forma de uma matriz é o nome das dimensões da mesma (m por n, quando m é o número de linhas e n é o número de colunas). A seguir são indicados alguns outros exemplos de matrizes, adotando outras possíveis notações.

Este é um exemplo de matriz 3 × 3:

$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$

Esta matriz tem a forma 5 × 4:

$T=\left(\begin{array}{cccc}a& b& c& d\\ h& g& f& e\\ i& j& k& l\\ p& o& n& m\\ q& r& s& t\end{array}\right)$

Aqui, tem-se uma matriz 1 × 6:

$V=\left(\begin{array}{cccccc}2& 3& 5& 7& 11& 13\end{array}\right)$

As matrizes são objetos matemáticos que além de permitirem uma boa organização espacial de conjuntos de dados numéricos, podem ser operadas com números (multiplicação por escalar) e com outras matrizes (sendo adicionadas, multiplicadas, etc). Entender as operações sobre matrizes é essencial para o aprendizado de Álgebra Linear.

Uma matriz é formada por linhas, que são conjuntos de dados dispostos horizontalmente e por colunas, conjuntos de dados dispostos verticalmente. Cada elemento presente em uma matriz é indicado por uma letra minúscula que possui como índice um par ordenado que representa o número da linha e o da coluna. Costuma-se representar total de linhas de uma matriz pela letra m e o número total de colunas por n. Os valores de m e de n são as dimensões da matriz.

Organização de uma matriz

Exemplos de matrizes

A matriz a seguir é uma matriz de ordem 2×3 com elementos naturais.

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]$

Nesse exemplo, o elemento $a_{12}$ é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.

De forma geral, numa matriz A de ordem m × n, o elemento $a_{ij}$ é o símbolo na i-ésima linha e j-ésima coluna de A. Assim:.

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$

As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo, $a_{ij}=i+j,$ para $i$ de 1 a 3 e $j$ de 1 a 2, define a matriz 3×2 $A=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& 4\\ 4& 5\end{array}\right].$

Abaixo, vemos o exemplo de uma Matriz Quadrada:

$A=\left[\begin{array}{ccc}3& 5& 23\\ 3& 4& 5\\ 4& 1& 9\end{array}\right]$

E agora um exemplo de uma Matriz Identidade:

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

Abaixo seguem informações sobre as principais operações definidas para matrizes. Abaixo matrizes serão representadas por letras maiúsculas e seus índices por letras minúsculas. Números escalares serão representados pela letra $k.$

Tipos especiais de matrizes

• Uma Matriz Quadrada é toda aquela na qual $m=n.$ Isto é, ela possui o mesmo número de linhas e de colunas.
• Uma Matriz Linha é toda aquela na qual $m=1.$ Isto é, ela possui apenas uma linha.
• Uma Matriz Coluna é toda aquela na qual $n=1.$ Isto é, ela possui apenas uma coluna.
• Uma Matriz Diagonal é toda aquela na qual $m=n$ e cujo elemento $A_{i,j}=0$ se $i\ne j.$ Isto é, possui todos os valores iguais à zero, exceto os elementos da diagonal principal.
• Uma Matriz Escalar é toda aquela na qual $m=n$ cujo elemento $A_{i,j}=0$ se $i\ne j$ e $A_{i,j}=X.$ Isto é, todos os valores são nulos, exceto os valores da diagonal principal que possuem sempre o mesmo valor.
• Uma Matriz Nula é toda aquela cujos elementos $A_{i,j}=0.$ Isto é, se todos os seus elementos forem nulos.
• Uma Matriz Identidade é toda aquela na qual $m=n$ cujos elementos $A_{i,j}=0$ se $i\ne j$ e $A_{i,j}=1$ se $i=j.$ Isto é, possui todos os valores nulos, exceto os valores da diagonal principal que valem sempre 1.

Álgebra matricial

Multiplicação por um escalar

A multiplicação por um escalar é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes. Predefinição:Definição Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz.

Predefinição:CaixaMsg É impossível somar ou subtrair escalares de matrizes.

A multiplicação por escalar possui as seguintes propriedades:

• Associativa em relação ao Escalar: $(k_1\cdot k_2)\cdot A=k_1\cdot (k_2\cdot A)$
• Distributiva em relação ao Escalar: $(k_1+k_2)\cdot A=k_1\cdot A+k_2\cdot A$
• Distributiva em relação à Matriz: $k_1\cdot (A+B)=k_1\cdot A+k_1\cdot B$
• Elemento Neutro: $1\cdot A=A$

Adição de Matrizes

A adição de matrizes é outra operação bastante simples. Predefinição:Definição Predefinição:CaixaMsg

Perceba que a operação de soma para matrizes de diferentes dimensões não é definida.

A adição de matrizes possui as seguintes propriedades:

• Propriedade Associativa: $A+(B+C)=(A+B)+C$
• Elemento Neutro: $A+0=0+A=A$ ($0$ é uma Matriz Nula, não um escalar)
• Simétrico Aditivo: $-A+A=A-A=0$
• Comutatividade: $A+B=B+A$

Multiplicação de Matrizes

A multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita. Predefinição:Definição A motivação dessa definição é a seguinte: se ${\beta }_i$ denota a $i$-ésima linha da matriz $B,$ podemos criar outra matriz $C$ cujas linhas ${\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_m$ sejam combinações lineares das linhas de $B:$

${\gamma }_1=A_{1,1}{\beta }_1+A_{1,2}{\beta }_2+\cdots +A_{1,n}{\beta }_n$

$⋮$

${\gamma }_m=A_{m,1}{\beta }_1+A_{m,2}{\beta }_2+\cdots +A_{m,n}{\beta }_n$

Em cada linha ${\gamma }_i,$ a entrada na $j$-ésima coluna será uma combinação linear de todas as entradas de $B$ nessa mesma coluna:

$({\gamma }_i{)}_j=A_{i,1}({\beta }_1{)}_j+A_{i,2}({\beta }_2{)}_j+\cdots +A_{i,n}({\beta }_n{)}_j,$

mas $({\beta }_i{)}_j$ corresponde a $B_{i,j}.$ Então, se $A$ for a matriz com as entradas $A_{i,j}$ definidas como acima, obtemos a fórmula acima.

Da mesma maneira, se ${\alpha }_j$ denota a $j$-ésima coluna da matriz $A,$ podemos criar uma matriz $C$ cujas colunas ${\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_p$ sejam combinações lineares das colunas de $A:$

${\gamma }_j=B_{1,j}{\alpha }_1+B_{2,j}{\alpha }_2+\cdots +B_{n,j}{\alpha }_n$

E, tomando as entradas na $i$-ésima linha, obtemos

$({\gamma }_j{)}_i=B_{1,j}({\alpha }_1{)}_i+B_{2,j}({\alpha }_2{)}_i+\cdots +B_{n,j}({\alpha }_n{)}_i$

Mas a $({\alpha }_j{)}_i,$ a $i$-ésima entrada à linha ${\alpha }_j,$ corresponde ao elemento $A_{i,j},$ de modo que também obtemos a fórmula acima.

Portanto, Predefinição:CaixaMsg

Predefinição:CaixaMsg

Propriedades

A multiplicação de matrizes tem as seguintes propriedades:

• Associativa:

  $(AB)C=A(BC)$

• Distributiva em relação à Adição:

  $(A+B)C=AC+BC$

• Elemento Neutro: se $A$ é uma matriz $m\times n,$ então

  $I_{m}A=A{I}_n=A,$ onde $I_n$ representa a matriz identidade de ordem $n.$

Note que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, geralmente tem-se $AB\ne BA.$ Em muitos dos casos, a multiplicação $BA$ pode não estar sequer definida: quando existe a multiplicação $AB,$ a multiplicação $BA$ só pode existir no caso em que $A$ e $B$ são quadradas; mesmo assim, ainda pode ocorrer a não-comutatividade.

Transposição

• O número de linhas da matriz transposta será igual ao número de colunas da matriz original, assim como o número de colunas da transposta será igual ao número de linhas da original. Ou seja, se $A$ era $m\times n,$ $A^t$ será $n\times m.$
• Cada coluna de $A$ corresponderá a uma linha de $A^t,$ e vice-versa.

Ver também

• Matemática elementar/Matrizes (livro com conteúdo mais simples)