Métodos numéricos/Aritmética computacional

Introdução

A aritmética computacional poder parecer, a princípio, estranha ou diferente da nossa noção de soma, divisão ou subtração. Mas, apenas no início, o sua função é a da matemática do cotidiano. A questão é: para quem a aritmética computacional foi pensada, a resposta é: para os computadores.

É importante deixar claro que as máquinas que nós usamos hoje para praticamente tudo, os computadores digitais, não possuem uma linguagem complexa como a nossa, sendo assim usar uma linguagem bastante simples foi pré-requisito fundamental para a evolução rápida dos computadores.

Representação dos números reais em vírgula flutuante

Algarismos significativos

Os algarismos significativos são os dígitos que representam uma informação relevante, por exemplo o valor e a precisão de uma medida. Exemplos:

• O número 0000001,0 : neste número todos os zeros à esquerda são desnecessários. É preferível escrevê-lo como 1,0 sendo um formato mais compacto e eficiente.

• O número 1000000,0 : neste exemplo, todos os zeros são significativos (não é o mesmo ter um milhão que ter dez na conta do banco!).

• E como regra geral, todo número diferente de zero é sempre um número significativo já que inclui alguma informação relevante.

• Os zeros que estejam entre outros números ou que estejam à direita desses números serão sempre número significativos. Por exemplo o número 1,2408900 : neste número todos os algarismos são significativos. Incluso os zeros ao final, já que eles me dizem que a minha medição tem uma precisão de 7 casas decimais.
  

Notação científica dos números reais

A notação científica é uma maneira de escrever números muito pequenos ou muito grandes, uma situação comum para quem trabalha com números e medições. Escrevemos o número como o produto entre um número $x$ (tal que $1\le x<10$) e uma potência de 10.

Exemplo

Suponha que queremos escrever o número: 123456789 em notação científica. Primeiro dividimos o número por $10^n$, escolhendo $n$ de forma que o resultado esteja entre -10 e 10. Para fazer isso dividimos por $10^8$ e obtemos:

$\frac{123456789}{100000000}=1.23456789$

Já que dividimos o número original por 100000000, devemos também multiplicar o número anterior pelo mesmo número para manter a equivalência com o valor original.

$123456789=1.23456789\times 100000000$

Para facilitar a leitura e o analise dos dados, escrevemos o último termo como um exponente de 10:

$123456789=1.23456789\times 10^8$

É importante reparar que o formato da direita é muito mais útil que o formato da esquerda, já que é possível ter uma ideia da magnitude do número com só olhar o exponente (+8).

Operações e erros em vírgula flutuante

Erros de arredondamento

Sempre que trabalhamos medições, fórmulas e equações topamos com números como $1/3$ ou $\pi$. Estes são números irracionais, isso quer dizer que precisamos infinitos algarismos para representar eles em uma base decimal.

Portanto, estamos obrigados a limitar o número de algarismos significativos. Existem duas maneiras de fazer isso: truncando ou arredondando o número.

Truncar é igual a cortar. Se é preciso truncar $\pi \approx 3,141592\dots$ na quarta casa decimal. Temos que $\pi \approx 3,1415$ sem importar qual número segue depois do cinco.

Arredondar é aproximar o número a aquele que está mais perto. Para arredondar $\pi$ na quarta casa decimal aumenta-se a quarta casa decimal de 5 para 6 devido a que na sexta casa decimal tinha um 9, obtendo que $\pi \approx 3,1416$.

Resumidamente, o arredondamento tem a ver com regras que dizem o que fazer com o último algarismo a conservar. Nos exemplos anteriores chamamos ao 5 o último algarismo a conservar e o 9 o primeiro algarismo a ser eliminado.

Definição do último algarismo a ser conservado e do primeiro algarismo a ser eliminado.

Sempre que se arredonda um número, se inclui um erro junto. Por isso, devem se seguir algumas regras de arredondamento para poder diminuir o erro de arredondamento:

• Algarismo a ser eliminado < 5 : o algarismo a ser conservado fica como está.
  Exemplo: Arredondando a raiz quadrada de sete com cinco casas decimais temos que $\sqrt{7}=2,645751311\dots \approx 2,64575$.
• Algarismo a ser eliminado > 5 : acrescenta +1 no algarismo a ser conservado.
  Exemplo: Arredondando $\pi$ a quatro casas decimais temos que $\pi =3.1415926\dots \approx 3,1416$.
• Algarismo a ser eliminado == 5, seguido de outro número diferente de zero: acrescenta +1 no algarismo a ser conservado.
  Exemplo: Arredondando o seguinte número a três casas decimais temos que $9,73251\approx 9,733$.
• Algarismo a ser conservado é par, seguido de 5, seguido de zero: o algarismo a ser conservado fica como está. Exemplo: Arredondando o seguinte número a três casas decimais temos que $9,73250\approx 9,732$.
• Algarismo a ser conservado é impar, seguido de 5, seguido de zero: acrescenta +1 no algarismo a ser conservado. Exemplo: Arredondando o seguinte número a três casas decimais temos que $9,73350\approx 9,734$.

Aplicações

Erros de arredondamento tem causado a morte de muitas pessoas, a queda de aviões, problemas na bolsa e até conflitos em eleições ao parlamento alemão.