Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias

Introdução

Predefinição:W (EDO´s) podem se tornar complexas para serem calculadas através de métodos analíticos, por conta disso alguns dos principais matemáticos também despenderam seu precioso tempo para encontrar maneiras mais rápidas e fáceis de se obter a resolução de EDO´S de primeira ordem. Nessa secção estaremos analisando três dos principais métodos elaborados para solucionar tais problemas,a saber, o método de Euler, o método de Euler aperfeiçoado e o método de Runge Kutta.

Problema de condições iniciais

Um problema de valor inicial (PVI) nada mais é que uma EDO acompanhada de uma condição inicial. Condição inicial é um ponto x (numa função f(x)) que pertence ao domínio da função f(x) que é solução do PVI.

Por exemplo: se conhecemos a função velocidade $v(t)$ podemos perguntar qual será a posição $x(t)$ de uma partícula no instante $t$. A equação diferencial a resolver será:

$dx/dt=v(t)$,

Cuja solução é $x(t)=x(0)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}v(t)dt$.

A posição inicial é necessária para definir unicamente a solução do problema.

Método de Euler

A fórmula que rege esse método é a seguinte
$y_{n+1}=y_n+h*f(y_n,t_n)$ (1.1),

Onde y é igual a f(x) e h é um valor denominado passo; e f(y_n, t_n) = y'.

A origem da fórmula é a expansão em série de Taylor, da qual retemos apenas o termo de primeira ordem. Vejamos como utilizá-la.

Imagine o gráfico da EDO y'= f'(x), e que em seu domínio existam dois pontos x₁ e x₂ ; x₁ será a coordenada x da condição inicial e x₂ é o valor para o qual você deseja a solução do PVI, o passo é um valor que fará um incremento no valor de x₁ até que este chegue até x₂ nos cálculos seguintes.

O número de incrementos portanto é definido por
(x₂ - x₁)/h (1.2).

Torne a EDO do PVI em função de y_n (observe que este é um termo da fórmula acima).Determine o número de passos pela fórmula 1.2. Feito isto podemos iniciar os cálculos para determinar o valor do PVI para determinado valor de x. A fórmula do método será repetida por várias vezes, portanto por ser um método massivo, seria interessante a utilização de planilhas de cálculo. Para utilizarmos 1.1 devemos primeiramente calcular os valores de yn e y'n. Para a primeira linha do cálculo temos que yn = (y da condição inicial) e y´n é calculado a partir da EDO do PVI para os valores x e y da condição inicial.

Calculados estes dois termos, devemos substituí-los em 1.1, tendo assim efetuado a primeira linha do cálculo, o próximo passo é o cálculo da primeira iteração. Para a primeira iteração temos que$y_n=(y_n+1)$ calculado na linha anterior e y´n é calculado a partir da EDO do PVI para os valores x + h e (yn+1) da linha de comando anterior; calculados estes dois termos, novamente devemos substituídos em 1.1 e assim terminamos a primeira interação. A segunda iteração tem uma sistemática idêntica a da primeira iteração. Assim iterações sucessivas são executadas até que se atinja a iteração limite calculada anteriormente pela fórmula 1.2; alcançado este valor limite de iteração, o y desejado será o valor da fórmula 1.1 da linha anterior.

Método de Runge-Kutta

A sistemática de resolução do método de Euler é a mesma que será utilizada para o Método de Runge-Kutta. Porém aqui os termos intermediários serão determinados pelas seguintes fórmulas:

$y_{n+1}=y_n+1/6(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$

$k_1=hf(x_n,y_n)$

$k_2=hf(x_n+h/2,y_n+k_1/2)$

$k_3=hf(x_n+h/2,y_n+k_2/2)$

$k_4=hf(x_n+h,y_n+k_3)$

onde, $h$ denota o tamanho do passo.