Matemática elementar/Conjuntos/Números irracionais

O conjunto dos números irracionais $(𝕀)$ é um subconjunto dos números reais. Distingue-se dos números racionais, pois não pode ser representado por $\frac{a}{b}$, sendo a e b números racionais. Todos os números reais são infinitos e não são periódicos. Portanto, é usual os números irracionais serem representados por símbolos. Veja, abaixo, algumas constantes que são números irracionais utilizadas na matemática:

• π (Pi Radiano) = 3,141592...
• e (Número de Euler) = 2,718281...
• φ (Número de Ouro) = 1,618033...

Raízes irracionais

Também são considerados números irracionais as raízes de números primos:

• Predefinição:Math = 1,414213...
• Predefinição:Math = 1,732050...
• Predefinição:Math = 2,236067...
• ³Predefinição:Math = 1,259921...

Os múltiplos destas raízes também o são:

• Predefinição:Math = Predefinição:Math = 2,449489...
• Predefinição:Math = Predefinição:Math = 3,162277...
• Predefinição:Math = Predefinição:Math = 5,477225...

Os múltiplos de raízes de números primos resultarão em números racionais $(\mathbb{Q})$, se, e somente se em

$\sqrt[n]{x^a{y}^b{z}^c...}$

o quociente entre todos os expoentes (a, b, c, ...) dos números primos (x, y, z, ...) e o índice n forem números inteiros. Exemplo:

$\sqrt{5,76}=\sqrt{2^4.3^2.5^{-2}}$

O quociente entre os expoentes dos números primos e o índice é: 4÷2 = 2; 2÷2 = 1; -2÷2 = -1. Já que todos são inteiros, a raiz de 5,76 é racional, e equivale a 2,4.

Operações em $𝕀$

• Predefinição:Ênfase

π + 1 = 4,141592...

π + Predefinição:Math = 4,555806...

Predefinição:Math + Predefinição:Math = 3,146264...

• Predefinição:Ênfase

π - 1 = 2,141592...

Predefinição:Math - π = 0,020685...

Predefinição:Math - Predefinição:Math = -0,516526...

• Predefinição:Ênfase

Predefinição:Math x Predefinição:Math = Predefinição:Math

³Predefinição:Math.³Predefinição:Math.³Predefinição:Math = 2 (observe que o índice das raízes coincidiu com o número de vezes em que ela repetiu na multiplicação, originando, portanto, um número racional).

Inconsistente o exemplo logo acima, porque multiplicar dois números irracionais, iguais ou distintos entre si, resulta num número irracional.

Não é porque o número irracional está representado por (raiz enésima (a)), ele passa a ser racional. Então, mesmo que eu eleve (raiz enésima (a)) à enésima potência, o resultado não será "a", e sim um número que tende a "a". Se formos pensar sobre essa questão, veremos que, se tivermos b = (raiz enésima (a)), com "b" pertencente ao conjunto dos números irracionais, e "a" e "n" pertencentes ao conjunto dos números racionais, então a extração de (raiz enésima (a)) é impossível.

• Predefinição:Ênfase

Predefinição:Math ÷ Predefinição:Math = Predefinição:Math

Predefinição:Math ÷ Predefinição:Math = 2 (veja que o mesmo número irracional repetiu a mesma quantidade de vezes no divisor e no dividendo).

• Predefinição:Ênfase

π² = 9,869604...

(Predefinição:Math)⁴ = 9 (pelo fato de a razão entre o expoente do radicando e o índice ser um número inteiro, 4 ÷ 2 = 2, a potenciação não originou um número irracional).

Predefinição:AutoCat Também é inconsistente o exemplo logo acima, pelo mesmo motivo de que falei em "Multiplicação".

Bem, se os intelectuais que lerem meus comentários duvidarem, então façam assim: extraiam a raiz quadrada de dois, à mão, consoante o Método Exato de Extração de Raízes Quadradas, explanado em Wikipedia, em "Raiz quadrada". Extraiam-na, indo a partir da primeira até, no mínimo, a quintitilionésima casa decimal após a vírgula; depois, elevem cada resultado ao quadrado, também à mão. Se algum dos, no mínimo, cinco milhões, der 2,000000000000000000000000..., eu retifico esse comentário. Caso não der, eu estarei certo.

Não basta só teorizar. Tem que, provar, na prática.