Matemática - Funções/Funções de Segundo Grau

Por meio da fórmula de Bháskara, é possível encontrar as raízes de uma função do segundo grau:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

Onde:

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

E se:

$\mathrm{\Delta }>0$ → A função tem 2 raízes diferentes.

$\mathrm{\Delta }=0$ → A função tem apenas 1 única raiz.

$\mathrm{\Delta }<0$ → A função não tem raízes.

Questão 1) Calcule as raízes e o vértice das seguintes funções, e esboce seus gráficos:

a) $f(x)=x^2-6x+5$

b) $f(x)=x^2-10x+16$

c) $f(x)=x^2+14x+49$

d) $f(x)=x^2-8x+16$

a) Função da forma: $f(x)=a{x}^2+bx+c$, onde $a=1$, $b=-6$ e $c=5$.

Calculando o valor de $\mathrm{\Delta }$:

$\mathrm{\Delta }=(-6{)}^2-4(1)(5)$

$\mathrm{\Delta }=36-20=16$

Aplicando a fórmula de Bháskara:

$x=\frac{-(-6)\pm \sqrt{16}}{2(1)}$

$x=\frac{6\pm 4}{2}$

$x^{\prime }=5$ , $x^{″}=1$

Para calcular o vértice $(x_v;y_v)$, é necessário, primeiro, tirar a média aritmética das raízes:

$x_v=\frac{x^{\prime }+x^{″}}{2}$

$x_v=\frac{5+1}{2}=3$

Depois, é só calcular $f(3)$:

$f(3)=(3{)}^2-6(3)+5=9-18+5=-4$

$(x_v;y_v)=(3;-4)$

Para encontrar o ponto onde o gráfico da função cruza o eixo y, basta fazer $f(0)$:

$f(0)=(0{)}^2-6(0)+5=5$

b) Função da forma: $f(x)=a{x}^2+bx+c$, onde $a=1$, $b=-10$ e $c=16$.

Calculando o valor de $\mathrm{\Delta }$:

$\mathrm{\Delta }=(-10{)}^2-4(1)(16)$

$\mathrm{\Delta }=100-64=36$

Aplicando a fórmula de Bháskara:

$x=\frac{-(-10)\pm \sqrt{64}}{2(1)}$

$x=\frac{10\pm 8}{2}$

$x^{\prime }=\frac{18}{2}=9$ , $x^{″}=\frac{2}{2}=1$

Para calcular o vértice $(x_v;y_v)$, é necessário, primeiro, tirar a média aritmética das raízes:

$x_v=\frac{x^{\prime }+x^{″}}{2}$

$x_v=\frac{9+1}{2}=5$

Depois, é só calcular $f(5)$:

$f(3)=(5{)}^2-10(5)+16=25-50+16=-9$

$(x_v;y_v)=(5;-9)$

Para encontrar o ponto onde o gráfico da função cruza o eixo y, basta fazer $f(0)$:

$f(0)=(0{)}^2-10(0)+16=16$

c) Função da forma: $f(x)=a{x}^2+bx+c$, onde $a=1$, $b=14$ e $c=49$.

Calculando o valor de $\mathrm{\Delta }$:

$\mathrm{\Delta }=(14{)}^2-4(1)(49)$

$\mathrm{\Delta }=196-196=0$

Aplicando a fórmula de Bháskara:

$x=\frac{-(14)\pm \sqrt{0}}{2(1)}$

$x=-7$

$(x_v;y_v)=(-7;0)$

d) Função da forma: $f(x)=a{x}^2+bx+c$, onde $a=1$, $b=-8$ e $c=16$.

Calculando o valor de $\mathrm{\Delta }$:

$\mathrm{\Delta }=(-8{)}^2-4(1)(16)$

$\mathrm{\Delta }=64-64=0$

Aplicando a fórmula de Bháskara:

$x=\frac{-(8)\pm \sqrt{0}}{2(1)}$

$x=-4$

$(x_v;y_v)=(-4;0)$