Notas de Mecânica/Colisões

colisões elásticas

Antes da colisão

Momentum linear antes da colisão:

${\overrightarrow{P}}_i={\overrightarrow{p}}_{1,i}+{\overrightarrow{p}}_{2,i}$

$P_i=m_1{v}_{1,i}$

Energia cinética antes da colisão:

$K_i=\frac{1}{2}{m}_1{v}_i^2$

Após a colisão:

Momentum linear após a colisão:

${\overrightarrow{P}}_f={\overrightarrow{p}}_{1,f}+{\overrightarrow{p}}_{2,f}$

$P_f=m_1{v}_{1,f}+m_2{v}_{2,f}$

Energia cinética após a colisão:

$K_f=\frac{1}{2}{m}_1{v}_{1,f}^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_{2,f}^2$

Conservação de Momentum Linear:

$P_i=P_f$

$m_1{v}_{1,i}=m_1{v}_{1,f}+m_2{v}_{2,f}$

Reacrupando os termos

$m_1(v_{1,i}-v_{1,f})=m_2{v}_{2,f}$

Conservação da energia cinética:

$K_i=K_f$

$\frac{1}{2}{m}_1{v}_{1,i}^2=\frac{1}{2}{m}_1{v}_{1,f}^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_{2,f}^2$

Reacrupando os termos

$\frac{1}{2}{m}_1(v_{1,i}^2-v_{1,f}^2)=\frac{1}{2}{m}_2{v}_{2,f}^2$

$m_1(v_{1,i}^2-v_{1,f}^2)=m_2{v}_{2,f}^2$

$m_1(v_{1,i}-v_{1,f})(v_{1,i}+v_{1,f})=m_2{v}_{2,f}^2$

Usando a equação oriunda da conservação do momentum na equação anterior:

$m_1(v_{1,i}-v_{1,f})(v_{1,i}+v_{1,f})=m_2{v}_{2,f}^2$

$m_2{v}_{2,i}(v_{1,i}+v_{1,f})=m_2{v}_{2,f}^2$

$\cancel{m_2}{v}_{2,i}(v_{1,i}+v_{1,f})=\cancel{m_2}{v}_{2,f}^2$

$\cancel{v_{2,f}}(v_{1,i}+v_{1,f})=v_{2,f}^{\cancel{2}}$

$(v_{1,i}+v_{1,f})=v_{2,f}$

Substituindo na equação do momentum:

$m_1{v}_{1,i}=m_1{v}_{1,f}+m_2{v}_{2,f}$

$m_1{v}_{1,i}=m_1{v}_{1,f}+m_2(v_{1,i}+v_{1,f})$

Reagrupando de maneira a escrever a velocidade final em termos da velocidade inicial:

$m_1{v}_{1,i}-m_2{v}_{1,i}=m_1{v}_{1,f}+m_2{v}_{1,f}$

logo:

$v_{1,f}=\frac{v_{1,i}(m_1-m_2)}{m_1+m_2}$

Substituindo na equação que relaciona as velocidades teremos:

$(v_{1,i}+v_{1,f})=v_{2,f}$

$(v_{1,i}+\frac{v_{1,i}(m_1-m_2)}{m_1+m_2})=v_{2,f}$

Reescrevendo:

$\frac{(v_{1,i}(m_1+m_2)+v_{1,i}(m_1-m_2)}{m_1+m_2}=v_{2,f}$

$v_{2,f}=\frac{2m_1{v}_{1,i}}{m_1+m_2}$

Resumindo:

Antes da colisão: após a colisão:

$v_{1,f}=\frac{v_{1,i}(m_1-m_2)}{m_1+m_2}v$

$v_{2,f}=\frac{2m_1{v}_{1,i}}{m_1+m_2}$

Alguns casos particulares

$m_1=m_2$

$v_{1,f}=\frac{v_{1,i}(m_1-m_2)}{m_1+m_2}=\frac{v_{1,i}(m_2-m_2)}{m_2+m_2}=0$

$v_{2,f}=\frac{2m_1{v}_{1,i}}{m_1+m_2}=\frac{2m_2{v}_{1,i}}{m_2+m_2}=\frac{2m_2{v}_{1,i}}{2m_2}=v_{1,i}$

$m_1<<m_2$

$v_{1,f}=\frac{v_{1,i}(m_1-m_2)}{m_1+m_2}\approx \frac{v_{1,i}(-m_2)}{m_2}=-v_{1,i}$

$v_{2,f}=\frac{2m_1{v}_{1,i}}{m_1+m_2}\approx \frac{2m_1{v}_{1,i}}{m_2}\approx 0$

$m_1>>m_2$

$v_{1,f}=\frac{v_{1,i}(m_1-m_2)}{m_1+m_2}\approx \frac{v_{1,i}(m_1)}{m_1}=v_{1,i}$

$v_{2,f}=\frac{2m_1{v}_{1,i}}{m_1+m_2}\approx \frac{2m_1{v}_{1,i}}{m_1}=2v_{1,i}$

Alvo em movimento

Se usarmos um referencial que se move com a velocidade inicial da partícula 2 (partícula alvo) caimos no mesmo caso anterior (alvo em repouso)

$V_{1,i}=v_{1,i}-v_{2,i};V_{1,f}=v_{1,f}-v_{2,i}$

$V_{2,i}=v_{2,i}-v_{2,i}=0;V_{2,f}=v_{2,f}-v_{2,i}$

Usando os resultados anteriores:

$V_{1,f}=\frac{V_{1,i}(m_1-m_2)}{m_1+m_2}$

$V_{2,f}=\frac{2m_1{V}_{1,i}}{m_1+m_2}$

Lembrando que:

$V_{1,f}=v_{1,f}-v_{2,i}⟹v_{1,f}=v_{2,i}+V_{1,f}$

$V_{2,f}=v_{2,f}-v_{2,i}⟹v_{2,f}=v_{2,i}+V_{2,f}$

$V_{1,i}=v_{1,i}-v_{2,i}$

Logo:

$v_{1,f}=v_{2,i}+\frac{(v_{1,i}-v_{2,i})(m_1-m_2)}{m_1+m_2}$

$v_{2,f}=v_{2,i}+\frac{2m_1(v_{1,i}-v_{2,i})}{m_1+m_2}$