Notas de Mecânica/Definição do Centro de Massa

Caso de Duas partículas

Sabemos de nosso estudo de dinâmica que para uma partícula, ou um corpo que se comporta como se fosse uma partícula:

${\overrightarrow{F}}_{res}=m\overrightarrow{a}$

Sabemos também que:

$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}$

e também que:

$\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}$

desta forma:

$\overrightarrow{a}=\frac{d}{dt}\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}$

ou seja :

$\overrightarrow{a}=\frac{d^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}$

e desta maneira podemos reescrever a segunda lei de Newton como :

${\overrightarrow{F}}_{res}=m\frac{d^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}$

Consideremos agora que temos 2 partículas de forma que uma partícula exerce uma força sobre a outra ( e pela terceira lei de Newton a reciproca sera verdadeira) e sobre cada uma delas temos também uma força externa aplicada como mostrado na figura abaixo:

Então temos para a partícula 1 :

${\overrightarrow{F}}_{res,1}=m_1{\overrightarrow{a}}_1$

${\overrightarrow{F}}_{ext,1}+{\overrightarrow{F}}_{2,1}=m_1{\overrightarrow{a}}_1$

Para a partícula 2:

${\overrightarrow{F}}_{res,2}=m_2{\overrightarrow{a}}_2$

${\overrightarrow{F}}_{ext,2}+{\overrightarrow{F}}_{1,2}=m_2{\overrightarrow{a}}_2$

Temos então:

$\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{F}}_{ext,1}+{\overrightarrow{F}}_{2,1}=m_1{\overrightarrow{a}}_1\\ {\overrightarrow{F}}_{ext,2}+{\overrightarrow{F}}_{1,2}=m_2{\overrightarrow{a}}_2\end{array}$

Somando as equações de ambos os lados temos:

${\overrightarrow{F}}_{ext,1}+{\overrightarrow{F}}_{2,1}+{\overrightarrow{F}}_{ext,2}+{\overrightarrow{F}}_{1,2}=m_1{\overrightarrow{a}}_1+m_2{\overrightarrow{a}}_2$

Pela terceira lei de Newton sabemos que :

${\overrightarrow{F}}_{2,1}=-{\overrightarrow{F}}_{1,2}$

desta forma:

${\overrightarrow{F}}_{ext,1}\cancel{-{\overrightarrow{F}}_{1,2}}+{\overrightarrow{F}}_{ext,2}+\cancel{{\overrightarrow{F}}_{1,2}}=m_1{\overrightarrow{a}}_1+m_2{\overrightarrow{a}}_2$

${\overrightarrow{F}}_{ext,1}+{\overrightarrow{F}}_{ext,2}=m_1{\overrightarrow{a}}_1+m_2{\overrightarrow{a}}_2$

${\overrightarrow{F}}_{res,ext}=m_1{\overrightarrow{a}}_1+m_2{\overrightarrow{a}}_2$

Usando a definição da aceleração:

${\overrightarrow{F}}_{res,ext}=m_1\frac{d^2{\overrightarrow{r}}_1}{d{t}^2}+m_2\frac{d^2{\overrightarrow{r}}_2}{d{t}^2}$

assumimos que $m_1$ e $m_2$ não variam no tempo e desta maneira pode mos escrever:

${\overrightarrow{F}}_{res,ext}=\frac{d^2{m}_1{\overrightarrow{r}}_1}{d{t}^2}+\frac{d^2{m}_2{\overrightarrow{r}}_2}{d{t}^2}$

Como a soma de derivadas e a derivada da soma:

${\overrightarrow{F}}_{res,ext}=\frac{d^2}{d{t}^2}(m_1{\overrightarrow{r}}_1+m_2{\overrightarrow{r}}_2)$

Multiplicando e divindo o lado direito da equação pela massa total do sistema $M=m_1+m_2$ :

${\overrightarrow{F}}_{res,ext}=\frac{d^2}{d{t}^2}(m_1{\overrightarrow{r}}_1+m_2{\overrightarrow{r}}_2)\frac{M}{M}$

Se as massas das partículas não variam no tempo a sua soma também não vai variar no tempo:

${\overrightarrow{F}}_{res,ext}=M\frac{d^2}{d{t}^2}\left(\frac{m_1{\overrightarrow{r}}_1+m_2{\overrightarrow{r}}_2}{M}\right)$

Notemos que a dimensão do termo $\frac{m_1{\overrightarrow{r}}_1+m_2{\overrightarrow{r}}_2}{M}$ tem dimensão de posição e segundo a equação acima esta quantidade se move como uma particula com massa igual a massa do sistema e como se todad a FORÇA EXTERNA fosse aplicada. Chamaremos esta quantidade de posição do centro de massa, ou seja:

${\overrightarrow{r}}_{CM}\equiv \frac{m_1{\overrightarrow{r}}_1+m_2{\overrightarrow{r}}_2}{M}$

Caso de N partículas

Podemos generalizar esta quantidade se considerarmos um sistema de $N$ partículas:

${\overrightarrow{r}}_{CM}\equiv \frac{m_1{\overrightarrow{r}}_1+m_2{\overrightarrow{r}}_2+\dots +m_N{\overrightarrow{r}}_N}{M}$ onde $M=m_1+m_2+\dots m_N$

ou de forma compacta: ${\overrightarrow{r}}_{CM}\equiv \frac{1}{M}\sum _{i=1}^N{m}_i{\overrightarrow{r}}_i$

Lembremos que esta expressão é uma expressão vetorial, podemos apartir desta obter as coordenadas do centro de massa, para o caso em 3 dimensões teremos:

${\overrightarrow{r}}_{CM}\equiv \frac{1}{M}\sum _{i=1}^N{m}_i{\overrightarrow{r}}_i⟹\{\begin{array}{c}{x}_{CM}=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^N{m}_i{x}_i\\ \\ y_{CM}=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^N{m}_i{y}_i\\ \\ z_{CM}=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^N{m}_i{z}_i\end{array}$

Velocidade e Aceleração do centro de massa

Se o centro de massa do sistema se mover podemos calcular a velocidade do centro de massa pelo mesmo procedimento que adotamos no calculo da velocidade de uma partícula única isto é pela expressão:

${\overrightarrow{v}}_{CM}=\frac{d\overrightarrow{r_{CM}}}{dt}$

se usarmos a expressão para o CM da partítula em termos da posição de cada partícula teremos:

${\overrightarrow{v}}_{CM}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{M}\sum _{i=1}^N{m}_i{\overrightarrow{r}}_i\right)$

Usando o fato das derivada da soma ser a soma das derivadas e também o fato que as massas das partículas não variarem no tempo teremos:

${\overrightarrow{v}}_{CM}=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^N{m}_i\frac{d{\overrightarrow{r}}_i}{dt}$

Ora, bem sabemos que $\frac{d{\overrightarrow{r}}_i}{dt}$ é a velocidade da partícula $i$ desta forma obtemos que:

${\overrightarrow{v}}_{CM}=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^N{m}_i{\overrightarrow{v}}_i$

O mesmo tipo de raciocinio podemos fazer para obtemos a aceleração do CM :

${\overrightarrow{a}}_{CM}=\frac{d\overrightarrow{v_{CM}}}{dt}$

se usarmos a expressão para a velocidade do CM da partítula que acabamos de obter:

${\overrightarrow{a}}_{CM}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{M}\sum _{i=1}^N{m}_i{\overrightarrow{v}}_i\right)$

${\overrightarrow{a}}_{CM}=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^N{m}_i\frac{d{\overrightarrow{v}}_i}{dt}$

Uma vez mais podemos usar o que estudamos na parte de cinemática de uma única partícula ao identificar $\frac{d{\overrightarrow{v}}_i}{dt}$ como a aceleração da partícula $i$, logo:

${\overrightarrow{a}}_{CM}=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^N{m}_i{\overrightarrow{a}}_i$

Novamente chamamos a atenção quanto a natureza vetorial das expressões da velocidade e da aceleração do CM, e igualmente ao que fizemos com o vetor posição centro de massa podemos agora escrever as coordenadas dos vetores velocidade e aceleração do CM do sistema:

${\overrightarrow{v}}_{CM}=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^N{m}_i{\overrightarrow{v}}_i⟹\{\begin{array}{c}{v}_{CM,x}=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^N{m}_i{v}_{i,x}\\ \\ v_{CM,y}=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^N{m}_i{v}_{i,y}\\ \\ v_{CM,z}=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^N{m}_i{v}_{i,z}\end{array};{\overrightarrow{a}}_{CM}=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^N{m}_i{\overrightarrow{v}}_i⟹\{\begin{array}{c}{a}_{CM,x}=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^N{m}_i{a}_{i,x}\\ \\ a_{CM,y}=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^N{m}_i{a}_{i,y}\\ \\ a_{CM,z}=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^N{m}_i{a}_{i,z}\end{array}$