Matemática elementar/Progressões/Progressão geométrica

Progressão geométrica (1,2,4,8).

Progressões geométricas são sequências numéricas em que os elementos crescem por multiplicações, a uma razão fixa.

Exemplo:

$P=(1,3,9,27,81)$ (razão de progressão q = 3)

Soma dos termos

Em uma PG, a soma dos termos é dada por:

$\sum _{i=0}^n(a_1\times r^i)$

De maneira idêntica aos somatórios de uma PA, temos:

$\sum _{i=0}^n(a_1+r^i)=a_1+a_2+a_3+...+a_n$

Portanto, a soma dos termos de uma PG de 5 termos, na qual o primeiro termo é igual a 3 e a razão igual a 2, é:

$\sum _{i=0}^5(3\times 2^i)=(3\times 2^0)+(3\times 2^1)+(3\times 2^2)+(3\times 2^3)+(3\times 2^4)=3+6+12+24+48=93$

Soma de infinitos termos

A soma dos termos de uma P.G. infinita se dá pela seguinte equação:

$Sn=\frac{a_1}{1-q}$

Produtórios

Similar aos somatórios, os produtórios (representados pela letra pi maiúscula) representam multiplicação dos termos de uma progressão. Esquematizando o produtório para uma PA, teremos:

$\prod _{i=0}^n(a_1+ir)=a_1\times a_2\times a_3\times ...\times a_n$

Nestes casos, você pode verificar que para r = 1,

$\prod _{i=0}^n(a_1+i)=\frac{a_n!}{(a_1-1)!}$

E para uma PG:

$\prod _{i=0}^n(a_1\times r^i)=a_1\times a_2\times a_3\times ...\times a_n$

Produto

o produto de uma progressão geométrica será:

P = (a1.an)^1/2

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