Notas de Mecânica/Movimento Retilíneo Uniformemente variado

Sabemos que: $a_{med}=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{v_f-v_i}{t_f-t_i}$

No movimento retílineo uniformemente acelerado a aceleração média é igual a aceleração instantânea:

$a_{med}=a$

e desta forma:

$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{v_f-v_i}{t_f-t_i}$

$v_f-v_i=a(t_f-t_i)$

$v_f=v_i+a(t_f-t_i)$

$v_f=v_i+a\mathrm{\Delta }t$

É comum usar as definições:

$v\equiv v_f$

$v_0\equiv v_i$

$t\equiv t_f$

$t_i\equiv 0$

desta forma temos a conhecida equação: $v=v_0+at$

Equação de posição

Sabemos que:

$v_{med}=\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{x_f-x_i}{t_f-t_i}$

Logo:

$v_{med}=\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{x_f-x_i}{t_f-t_i}$

$v=v_{med}=\frac{x_f-x_i}{t_f-t_i}$

e por consequência:

$x_f-x_i=v_{med}(t_f-t_i)$

$x_f=x_i+v_{med}(t_f-t_i)$

$x_f=x_i+v_{med}\mathrm{\Delta }t$ (1)

Como a aceleração é constante:

$v_{med}=\frac{v_f+v_i}{2}$

Lembrando que:

$v_f=v_i+a\mathrm{\Delta }t$

Temos então:

$v_{med}=\frac{(v_i+a\mathrm{\Delta }t)+v_i}{2}$

ou seja:

$v_{med}=\frac{2v_i+a\mathrm{\Delta }t}{2}$

$v_{med}=v_i+\frac{a\mathrm{\Delta }t}{2}$

Substituindo na equação (1):

$x_f=x_i+(v_i+\frac{a\mathrm{\Delta }t}{2})\mathrm{\Delta }t$

e finalmente:

$x_f=x_i+v_i\mathrm{\Delta }t+\frac{a(\mathrm{\Delta }t{)}^2}{2}$

Equação de Torricelli

$x_f=x_i+v_i\mathrm{\Delta }t+\frac{a}{2}(\mathrm{\Delta }t{)}^2$

$v_f=v_i+a\mathrm{\Delta }t$

$\mathrm{\Delta }t=\frac{v_f-v_i}{a}$

Eliminando o $\mathrm{\Delta }t$ das duas equações acima:

$x_f=x_i+v_i\left(\frac{v_f-v_i}{a}\right)+\frac{a}{2}{\left(\frac{v_f-v_i}{a}\right)}^2$

Depois de alguma algebra:

$v_f^2=v_i^2+2a(x_f-x_i)$

Movimento de Queda Livre

Um exemplo de movimento com aceleração constante é o movimento de queda livre. Dizemos que um corpo esta em queda livre quando sobre ele apenas a força gravitacional age, nestas condição nas proximidades da superfície da Terra a aceleração de queda dos corpos é aproximadamente constante igual a aproximadamente $9,8m/s^2$.

obs.: visite a parte de gravitação universal para saber o que acontece quando o movivento não se dá perto da superfície da Terra.

Usando o sistema de eixos coordenados mostrados na figura ao lado temos que ao soltarmos um corpo o corpo ira se mover em direção ao solo e portanto o seu deslocamento $\mathrm{\Delta }y=y_f-y_i$ será negativo se o deslocamento é negativo a sua velocidade também sera negativa e é sabido experimentalmente que sua velocidade de queda aumentará a medida que o tempo passa, ou seja temos um movimento acelerado, e se o movimento é acelerado a aceleração tem o mesmo sentido da velocidade e portanto ela também será negativa.

Se jogarmos o corpo verticalmente para cima o seu deslocamento $\mathrm{\Delta }y$ será positivo e por consequência sua velocidade também será positiva, contudo o corpo tem sua velocidade diminuida enquanto sobe até ser zero na sua altura máxima logo o movimento será retardado, ou seja a sua aceleração será negativa.

Desta forma TANTO NA SUBIDA QUANTO NA DESCIDA: $a=-g$

onde $g=9,8m/s^2$

e com uso das equações do MRUV teremos:

The table's caption

	MRUV	MQL
Equação de velocidade	$v_f=v_i+a\mathrm{\Delta }t$	$v_f=v_i-g\mathrm{\Delta }t$
Equação de posição	$x_f=x_i+v_i\mathrm{\Delta }t+\frac{a(\mathrm{\Delta }t{)}^2}{2}$	$y_f=y_i+v_i\mathrm{\Delta }t-\frac{g(\mathrm{\Delta }t{)}^2}{2}$
Equação deTorricelli	$v_f^2=v_i^2+2a(x_f-x_i)$	$v_f^2=v_i^2-2g(y_f-y_i)$

temos:

Exemplos Resolvidos

• /Exemplos/

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