Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/E5

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Enunciado

Deduzir a relação entre a velocidade média do escoamento turbulento e o valor da velocidade no centro de um duto de seção circular, usando a lei de potências. Assumir que a lei vale inclusive para os pontos bastante próximos às paredes do tubo.

Solução

A vazão no duto será

$\mathrm{\Phi }=\underset{A}{\int }{\overline{v}}_{x}dA=\underset{A}{\int }{\overline{v}}_r{\left(\frac{2d}{D}\right)}^{\frac{1}{n}}dA=\underset{0}{\overset{\frac{D}{2}}{\int }}{\overline{v}}_r{\left(\frac{2(\frac{D}{2}-r)}{D}\right)}^{\frac{1}{n}}(2\pi r)dr$

$\mathrm{\Phi }=\frac{2^{\frac{n+1}{n}}\pi }{D^{\frac{1}{n}}}{\overline{v}}_r\underset{0}{\overset{\frac{D}{2}}{\int }}{(\frac{D}{2}-r)}^{\frac{1}{n}}rdr$

$u=\frac{D}{2}-r\Rightarrow \mathrm{\Phi }=\frac{2^{\frac{n+1}{n}}\pi }{D^{\frac{1}{n}}}{\overline{v}}_r\underset{0}{\overset{\frac{D}{2}}{\int }}{u}^{\frac{1}{n}}(\frac{D}{2}-u)du$

$\mathrm{\Phi }=\frac{2^{\frac{n+1}{n}}\pi }{D^{\frac{1}{n}}}{\overline{v}}_r\underset{0}{\overset{\frac{D}{2}}{\int }}[\frac{D}{2}{u}^{\frac{1}{n}}-u^{\frac{n+1}{n}}]du$

$\mathrm{\Phi }=\frac{2^{\frac{n+1}{n}}\pi }{D^{\frac{1}{n}}}{\overline{v}}_r{[\frac{D}{2}\frac{n}{n+1}{u}^{\frac{n+1}{n}}-\frac{n}{2n+1}{u}^{\frac{2n+1}{n}}]|}_0^{\frac{D}{2}}$

$\mathrm{\Phi }=\frac{2^{\frac{n+1}{n}}\pi }{D^{\frac{1}{n}}}{\overline{v}}_r[\frac{D}{2}\frac{n}{n+1}{\left(\frac{D}{2}\right)}^{\frac{n+1}{n}}-\frac{n}{2n+1}{\left(\frac{D}{2}\right)}^{\frac{2n+1}{n}}]$

$\mathrm{\Phi }=\frac{2^{\frac{n+1}{n}}\pi }{D^{\frac{1}{n}}}{\overline{v}}_r{\left(\frac{D}{2}\right)}^{\frac{2n+1}{n}}[\frac{n}{n+1}-\frac{n}{2n+1}]$

$\mathrm{\Phi }=\frac{\pi D^2}{2}{\overline{v}}_r\frac{n^2}{(n+1)(2n+1)}$

A velocidade média do escoamento é, portanto,

$\overline{v}=\frac{\mathrm{\Phi }}{A}=\frac{\pi D^2}{2}{\overline{v}}_r\frac{n^2}{(n+1)(2n+1)}\cdot \frac{4}{\pi D^2}$

$\overline{v}={\overline{v}}_r\frac{2n^2}{(n+1)(2n+1)}$