Mecânica dos fluidos/Fluxo laminar do líquido ideal

Quando o fluido pode ser aproximado pelo modelo do líquido ideal, o fluxo é sempre laminar e as equações de Euler podem ser usadas no lugar das equações de Navier-Stokes. Nessas condições, uma solução analítica pode ser encontrada para diversos problemas.

Fluxo em um tubo curvo

Consideremos um duto curvo, de seção retangular h₀ x w₀ e raio interno de curvatura r₀, em posição horizontal. Se h₀ for suficientemente pequeno, a velocidade v pode ser considerada constante ao longo da seção transversal do duto. O uso da equação de Euler relativa à componente normal à linha de corrente resulta em

$\rho \frac{v^2}{r}=\frac{\partial p}{\partial n}+\rho g\frac{\partial z}{\partial n}\Rightarrow \rho \frac{v^2}{r}=\frac{\partial p}{\partial n}=\frac{dp}{dr}$

Integrando,

$dp=\frac{\rho v^{2}dr}{r}\Rightarrow \underset{p1}{\overset{p2}{\int }}dp=\underset{r0}{\overset{r0+h0}{\int }}\frac{\rho v^{2}dr}{r}\Rightarrow p_2-p_1=\rho v^2\ln \left(\frac{r_0+h_0}{r_0}\right)$

$v=\sqrt{\frac{p_2-p_1}{\rho \ln \left(\frac{r_0+h_0}{r_0}\right)}}$

A equação acima relaciona a velocidade do fluxo com a diferença de pressão nas paredes interna e externa à curva. Essas pressões podem ser medidas, proporcionando uma medida da velocidade do fluxo no duto.

Fluxo sob uma comporta

Consideremos uma comporta de seção retangular de altura h₀ na parte inferior de uma parede vertical, com água até a altura h_w. A equação de Bernoulii nos dá

$\frac{v_i^2}{2}+\frac{p_i}{\rho }+g{z}_i=\frac{v_f^2}{2}+\frac{p_f}{\rho }+g{z}_f$

Se escolhermos a linha de corrente que fica na superfície da água, teremos, trabalhando com pressões manométricas,

$\frac{v_i^2}{2}+\frac{0}{\rho }+g{h}_w=\frac{v_f^2}{2}+\frac{0}{\rho }+g{h}_0\Rightarrow v_f=\sqrt{2g(h_w-h_0)+v_i^2}$

Se escolhermos a linha de corrente que fica no fundo da água, teremos

$\frac{v_i^2}{2}+\frac{\rho g{h}_w}{\rho }+0=\frac{v_f^2}{2}+\frac{\rho g{h}_0}{\rho }+0\Rightarrow v_f=\sqrt{2g(h_w-h_0)+v_i^2}$

Ou seja, o resultado independe de qual linha de corrente for escolhida.

Fluxo ao redor de uma asa de avião

A equação de Bernoulli é válida para fluidos incompressíveis e com viscosidade nula. O caso do fluxo de ar ao redor da asa de um avião pode ser analisado através dessas equações, contanto que a velocidade não seja muito elevada (tipicamente abaixo de mach = 0.3). Neste caso, o ar pode ser considerado incompressível. O referencial mais conveniente a usar não é a terra, e sim o corpo do avião; se a velocidade for constante, esse referencial é inercial. Para um observador no solo, o fluxo não poderia ser considerado como de regime permanente.

A uma altitude de 1000 m, a temperatura é de cerca de 280 K, e a velocidade do som, 336 m/s. O avião poderia então mover-se, em relação ao ar, a uma velocidade de até 0.3 · 336 m/s = 112 m/s, e a equação de Bernoulli continuaria sendo válida. Tomando como referência uma linha de corrente que ataque frontalmente a asa no ponto A e passe por cima dela, teremos

$\frac{v_{ar}^2}{2}+\frac{par}{\rho }+g{z}_A=\frac{v_A^2}{2}+\frac{p_A}{\rho }+g{z}_A=\frac{v_B^2}{2}+\frac{p_B}{\rho }+g{z}_B$

onde B é um ponto qualquer na superfície superior da asa. Obviamente, v_ar é a velocidade do avião com relação ao ar. Como v_A = 0, a pressão p_A será a pressão de estagnação.

$p_A=par+\frac{\rho v_{ar}^2}{2}$

A pressão estática no ponto B será dada por

$p_B=par+\frac{\rho (v_{ar}^2-v_B^2)}{2}$

Similarmente, se escolhermos uma linha de corrente que passe por baixo da asa, teremos, num ponto C localizado na superfície inferior

$p_C=par+\frac{\rho (v_{ar}^2-v_C^2)}{2}$

E a diferença de pressões que atua verticalmente sobre a asa será

$\mathrm{\Delta }p=p_C-p_B=\frac{\rho (v_B^2-v_C^2)}{2}$

A asa deve ser desenhada de forma que v_C < v_B de forma a termos p_C > p_B. Assim, a asa sofrerá a ação de uma força ascendente. O desenho mostra que a velocidade do fluxo na parte superior da asa é mais alta, uma vez que as linhas de corrente são mais próximas.