Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/C8

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Enunciado

A velocidade de um fluido incompressível em um canal que se estreita continuamente é dada pela equação

$\overrightarrow{v}=v_1[1+\frac{x}{L}]{\overrightarrow{u}}_x$

Calcular a aceleração de uma partícula qualquer no fluxo. Calcular também a trajetória da partícula localizada no ponto (0,0,0) no instante t = 0.

Solução

Aqui é preciso usar a forma diferencial das equações. A partir da velocidade, podemos encontrar a aceleração calculando a derivada direcional de v na direção do eixo X:

${\overrightarrow{a}}_x=\left(\frac{D}{Dt}\overrightarrow{v}\right)\cdot {\overrightarrow{u}}_x=(\frac{\partial {\overrightarrow{v}}_x}{\partial t}+v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_x}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_x}{\partial z})\cdot {\overrightarrow{u}}_x$

${\overrightarrow{a}}_x=(0+\frac{v_1}{L}\cdot v_1[1+\frac{x}{L}]+0+0)\cdot {\overrightarrow{u}}_x=\frac{v_1^2}{L}[1+\frac{x}{L}]{\overrightarrow{u}}_x$

Para encontrar uma expressão para a posição da partícula citada, que denotaremos por P, é preciso integrar a equação que determina a velocidade. Como só existe movimento com relação ao eixo X,

$v_x=\overrightarrow{v}\cdot {\overrightarrow{u}}_x\Rightarrow \frac{d{x}_P}{dt}=v_1[1+\frac{x_P}{L}]$

$\frac{d{x}_P}{1+\frac{x_P}{L}}=v_{1}dt\Rightarrow \underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{d{x}_P}{1+\frac{x_P}{L}}=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{v}_{1}dt$

${L\ln (1+\frac{x_P}{L})|}_0^x={v_{1}t|}_0^t\Rightarrow L\ln \frac{1+\frac{x}{L}}{1+\frac{0}{L}}=v_1(t-0)$

$\ln (1+\frac{x}{L})=\frac{v_1}{L}t\Rightarrow (1+\frac{x}{L})=e^{\frac{v_1}{L}t}$

$x=L(e^{\frac{v_1}{L}t}-1)$

e, evidentemente, y = 0 e z = 0 para todo t.

A aceleração poderia ser calculada também derivando-se a função de posição

$\overrightarrow{a}=\frac{{\partial }^{2}x}{\partial t^2}{\overrightarrow{u}}_x+\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}{\overrightarrow{u}}_y+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial t^2}{\overrightarrow{u}}_z=\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\left[L(e^{\frac{v_1}{L}t}-1)\right]{\overrightarrow{u}}_x$

$\overrightarrow{a}=\frac{\partial }{\partial t}\left[L\frac{v_1}{L}(e^{\frac{v_1}{L}t}-1)\right]{\overrightarrow{u}}_x=\left[v_1\frac{v_1}{L}(e^{\frac{v_1}{L}t}-1)\right]{\overrightarrow{u}}_x$

$\overrightarrow{a}=\left[\frac{v_1^2}{L}(e^{\frac{v_1}{L}t}-1)\right]{\overrightarrow{u}}_x$

que expressa a aceleração como uma função de t, não de x. É possível provar que as expressões são equivalentes substituindo-se x na primeira equação:

${\overrightarrow{a}}_x=\frac{v_1^2}{L}[1+\frac{x}{L}]{\overrightarrow{u}}_x=\frac{v_1^2}{L}[1+\frac{L(e^{\frac{v_1}{L}t}-1)}{L}]{\overrightarrow{u}}_x=\frac{v_1^2}{L}(e^{\frac{v_1}{L}t}-1){\overrightarrow{u}}_x$

Essas duas formas de obtenção da aceleração ilustram, respectivamente, o modelo de descrição Euleriano e o modelo de descrição Lagrangeano do movimento. Predefinição:AutoCat