Mecânica dos fluidos/Equações para linhas de fluxo

Equações para linhas de fluxo

Linhas de corrente

Como as linhas de corrente são, em cada instante, tangentes à velocidade do fluxo, temos que, para uma linha de corrente λ_s qualquer

$\frac{dy}{dx}{\frac{}{}|}_{\lambda s}=\frac{v_y}{v_x}\Rightarrow v_{x}dy-v_{y}dx=0$

Introduzindo uma função ψ tal que dψ = v_xdy - v_ydx, teremos dψ = 0, ou seja, ψ = constante. Essa função ψ é chamada função corrente (ing. stream function). Cada linha de corrente λ_s corresponde, então, a um valor fixo de ψ. Esse valor é arbitrário, uma vez que é a diferencial dψ que é definida univocamente, não a função em si.

De acordo com o teorema de Euler sobre as diferenciais exatas, dψ = v_xdy - v_ydx = P(x,y)dy + Q(x,y)dx será uma diferencial exata se

$P(x,y)=v_x=\frac{\partial \psi }{\partial y}Q(x,y)=-v_y=\frac{\partial \psi }{\partial x}$

Assim

$\psi =\int d\psi =\int (v_{x}dy-v_{y}dx)=\int (\frac{\partial \psi }{\partial y}dy+\frac{\partial \psi }{\partial x}dx)$

Uma propriedade interessante da função corrente é que ela satisfaz a equação de continuidade para um fluido incompressível em escoamento bidimensional:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+(\mathrm{\nabla }\cdot (\rho \overrightarrow{v}))=\rho \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{v}=\rho (\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y})=\rho (\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial \psi }{\partial y}-\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial \psi }{\partial x})=\rho (\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x\partial y}-\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x\partial y})=0$

A dimensão de ψ é [L².t^-1], o mesmo da vazão volumétrica Φ definida anteriormente . A diferença dos valores de ψ entre duas linhas de corrente ψ₁ e ψ₂ é chamada taxa de vazão volumétrica; a diferença dos valores do produto ρψ entre duas linhas de corrente é chamada taxa de vazão mássica, e sua dimensão é [M.L^-1.t^-1].

O volume de fluido que escoa entre duas linhas de corrente adjacentes (Δψ = 1) é o mesmo. Assim, em regiões onde as linhas de corrente são mais próximas entre si, a velocidade do fluido é maior, uma vez que a área transversal é menor. As linhas de corrente, dessa forma, são um bom indicador visual do comportamento do fluido na região.

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