Mecânica dos fluidos/Equações básicas para um sistema

Equações básicas para um sistema

Como visto na Introdução, as equações básicas em uso na mecânica dos fluidos são:

• O princípio da continuidade
• A segunda lei do movimento de Newton
• O princípio de conservação do momento angular
• A primeira lei da termodinâmica
• A segunda lei da termodinâmica

A formulação dessas leis para um sistema (ou seja, uma região do espaço através da qual não há fluxo de massa) é a seguinte:

O princípio da continuidade

$\frac{dm}{dt}=0$

$m=\int dm=\int \rho dV$

onde t é o tempo, m é a massa do sistema, V o seu volume e ρ, a sua densidade.

A segunda lei do movimento de Newton

$\overrightarrow{F}=\frac{d\overrightarrow{M}}{dt}$

$\overrightarrow{M}=\int \overrightarrow{v}dm=\int \rho \overrightarrow{v}dV$

onde F é a força aplicada ao sistema, M é o momento linear do sistema e v, a sua velocidade. A aplicação do princípio de conservação do momento linear resultaria nessas mesmas equações.

O princípio de conservação do momento angular

$\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}=\frac{d\overrightarrow{H}}{dt}$

$\overrightarrow{H}=\int \overrightarrow{h}dm=\int \rho \overrightarrow{h}dV$

onde Ω é o torque aplicado ao sistema, H é o momento angular do sistema, h o momento angular de um elemento e r, o braço do momento.

A primeira lei da termodinâmica

$\mathrm{\Delta }E=\delta Q+\delta W$

$E=\int edm=\int e\rho dV$

onde E é a energia do sistema, Q é a quantidade de calor que entra no sistema, e é a energia de um elemento e W, o trabalho realizado sobre o sistema.

A segunda lei da termodinâmica

$\mathrm{\Delta }S\ge \frac{\delta Q}{T}$

$S=\int sdm=\int s\rho dV$

onde S é a entropia do sistema, s é a entropia de um elemento e T, a temperatura do sistema.

Relações auxiliares

Além das equações de estado dos gases, são relações auxiliares frequentemente usadas:

• A fórmula da energia total: $E=U+\frac{v^2}{2}$

onde U é a energia potencial (de qualquer tipo). Essa fórmula vale tanto para sistemas quanto para elementos.

• As fórmulas referentes ao momento angular: $\overrightarrow{h}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}\mathrm{\Omega }=\overrightarrow{r}\times {\overrightarrow{F}}_r$

onde r é o braço do momento.

• As relações termodinâmicas: $\mathrm{\Delta }H=C_P\mathrm{\Delta }T\mathrm{\Delta }H=C_V\mathrm{\Delta }T;$

onde H é a entalpia, T é a temperatura e C_P e C_V são as capacidades caloríficas a pressão constante e a volume constante, respectivamente.

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