Teoria dos conjuntos/Revendo o axioma da separação

No texto do axioma da separação:

Se z é um conjunto e $\varphi$ é qualquer propriedade que possa ser atribuída a elementos x de z, então existe um subconjunto y de z que contém os elementos x de z e que possuem essa propriedade.

Ou, em sua forma mais genérica, qualquer fórmula $\varphi$ na linguagem da teoria dos conjuntos com variáveis livres entre $x,z,w_1,\dots ,w_n$:

$\mathrm{\forall }z\mathrm{\forall }{w}_1\dots w_n\mathrm{\exists }y\mathrm{\forall }x(x\in y⟺(x\in z\wedge \varphi ))$

Um ponto que pode não ter ficado muito claro é que tipo de fórmula ou propriedade é admissível para Φ.

Este capítulo tem o objetivo de explorar estas fórmulas.

Exemplo: conjuntos unitários

Seja Φ a propriedade definida como:

$\mathrm{\Phi }(x)=(\mathrm{\exists }y,(y\in x\wedge \mathrm{\forall }z,(z\in x⟹z=y)))$

Em Português, o que esta propriedade afirma?

$\mathrm{\exists }y,y\in x$ - significa que x não é o conjunto vazio.

$\mathrm{\forall }z,(z\in x⟹z=y)$ - significa que se x tem algum elemento, então este elemento é igual ao y

Em outras palavras, Φ(x) expressa, na linguagem da teoria dos conjuntos, que x é um conjunto unitário.

Por exemplo, podemos demonstrar (exercício) que Φ(1), Φ({1}) e Φ({2}) são verdadeiros, e que $\mathrm{\Phi }(\varnothing )$, Φ(2) e Φ({1,2}) são falsos.

Como aplicação do esquema de axiomas, seja A = {1, 2}. Então o conjunto $B=\{x\in A|\mathrm{\Phi }(x)\}$ é o conjunto B = {1}.

Ao aplicar a propriedade Φ na formação de subconjuntos, deve-se tomar o cuidado de não repetir os símbolos. Se temos uma demonstração lógica que já utilizou os símbolos x, y ou z, devemos usar a definição de Φ trocando o símbolo por algum outro.

Note-se que, pelos axiomas até agora apresentados, a expressão $\{x|\mathrm{\Phi }(x)\}$ não denota um conjunto - aliás, é possível mostrar (usando uma variação do paradoxo de Russell) que este conjunto não existe, ou seja, que para todo conjunto A existe um conjunto unitário B que não é um elemento de A.

A fórmula do axioma

A fórmula Φ do axioma deve ser uma Predefinição:W, na linguagem da lógica clássica de primeira ordem.

Isto significa o seguinte:

• Podem ser usadas constantes e fórmulas previamente definidas, e variáveis novas
• Podem ser usados os conectivos lógicos da lógica proposicional (e, ou, não, implica, etc, combinados com parêntesis para mostrar prioridade de avaliação)
• Variáveis devem ser introduzidas pelos quantificadores existe e para todo, e seu uso deve ser limitado à proposição que se segue ao quantificador.
• Variáveis devem se relacionar entre si e com as constantes através unicamente de $\in$, ou de outros símbolos definidos anteriormente por fórmulas bem formadas.
• As fórmulas bem formadas são recursivas, ou seja, elementos de uma fórmula bem formada são fórmulas bem formadas.

Como exemplos, sendo A, B e C constantes:

• $x\in A$ é um fórmula bem formada na variável x
• $\mathrm{\exists }x,x\in A$ não é uma fórmula bem formada na variável x, porque x não está livre
• $x\in A⟹x\in B$ é uma fórmula bem formada na variável x
• $x\in A⟹(\mathrm{\forall }y,(y\in B⟹x\in y))$ é uma fórmula bem formada na variável x
• $x\in A\wedge y\in B⟹x=y$ é uma fórmula bem formada nas variáveis x e y
• $\mathrm{\exists }y,(y\in x\vee \mathrm{\forall }y(y\in A))$ não é uma fórmula bem formada em x: y aparece em um quantificador ($\mathrm{\forall }y$) dentro de uma expressão condicional a outro quantificador $\mathrm{\exists }y$)
• $(\mathrm{\forall }y,z\in x,(y\in z\vee y=z\vee z\in y))\wedge (\mathrm{\forall }y,z\in x,(y\in x\wedge z\in y⟹z\in x))$ é uma fórmula bem formada na variável x (esta é uma das definições de um número ordinal)

Sementinha do mal

Agora é um bom ponto para plantar uma sementinha do mal. O axioma diz explicitamente que para todo conjunto x e toda fórmula φ existe um subconjunto y dos elementos de x que satisfazem esta propriedade.

Uma pergunta interessante é inverter o enunciado do axioma: será que, para todo subconjunto y de x, existe uma fórmula bem formada φ (que, obviamente, seja livre de y) de modo que y seja definido através dela?

Esta pergunta aparentemente inocente tem profundas implicações, mas, por enquanto, ainda não temos ferramentas adequadas para explorá-la.

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