Medida e integração/Integração de funções mais gerais

Assim como no [[../Integração de funções positivas|capítulo anterior]], ao longo deste capítulo será suposto fixado um [[../Medida#defi:esp-com-medida|espaço com medida]] $(X,𝔐,\mu ).$

• Predefinição:Observação

O conjunto ${ℒ}_1(X,𝔐,\mu ;𝕂)$ costuma ser simbolizado por notações mais simples como, por exemplo, ${ℒ}_1(X,\mu ;𝕂),$ ${ℒ}_1(X,\mu ),$ ${ℒ}_1(X)$ ou mesmo ${ℒ}_1.$ Nestes casos, os itens que forem omitidos deverão estar claros pelo contexto. Alguns autores preferem usar ${ℒ}^1$, colocando o índice como sobrescrito.

O leitor deve observar que as funções $u^{+},$ $u^{-},$ $v^{+}$ e $v^{-}$ que aparecem na Definição 6.4 são mensuráveis, reais e não-negativas. Deste modo, existem as integrais correspondentes sobre o conjunto $E\in 𝔐$ (ver [[../Integração de funções positivas#eq:int-fun-nao-neg|Definição 5.4]]). Note também que $u^{+},u^{-}\le |u|\le |f|$ e também $v^{+},v^{-}\le |v|\le |f|,$ de modo que, pelos itens 1 e 2 da [[../Integração de funções positivas#prop:props-gerais-integral|Proposição 5.9]], as integrais destas funções são finitas e, consequentemente, conforme a Definição 6.1, $\underset{E}{\int }f\mathrm{d}\mu \in ℂ,\mathrm{\forall }E\in 𝔐.$

• Predefinição:Observação

O teorema a seguir mostra que ${ℒ}_1(X,\mu ;𝕂)$ é um espaço vetorial seminormado (ver exercício).