Introdução à física/Cinemática/Movimento/Movimento de projéteis

"... se um canhão horizontal, numa torre, atira paralelamente ao horizonte, não importa se a carga de pólvora é grande ou pequena, de forma que a bala caia a mil jardas ou a quatro mil ou a seis mil, todos estes tiros levam o mesmo tempo (para atingir o chão) e este tempo é igual ao que a bala levaria da boca do canhão até o solo se caísse diretamente para baixo sem qualquer impulso (i.e. em queda-livre)." Galileu Galilei

Imaginemos um projétil que é lançado com uma velocidade inicial v_o que faz um ângulo $\theta$ com o eixo horizontal e descreve uma trajetória parabólica. Se chamarmos a componente horizontal do vetor velocidade inicial de $v_{o_x}$ e a componente vertical de $v_{o_y}$ então temos que:

$v_{o_x}=v_o\cos \theta$
$v_{o_y}=v_o\sin \theta$

$v_{o_x}$ é constante, logo, a aceleração no sentido do eixo x é nula. No sentido do eixo y o movimento é acelerado como a queda-livre, logo, $a=-g$. Sabendo disso, temos que:

$v_y=v_{o_y}+a\mathrm{\Delta }t\Rightarrow v_y=v_o\sin \theta -g\mathrm{\Delta }t$
$v_x=v_{o_x}\Rightarrow v_x=v_o\cos \theta$

E também:

$y=y_o+v_{o_y}t+\frac{1}{2}a{t}^2\Rightarrow y=v_{o_y}t-\frac{g{t}^2}{2}\Rightarrow y=v_o\sin \theta t-\frac{g{t}^2}{2}$
$x=v_{x}t\Rightarrow x=v_{o_x}t\Rightarrow x=v_o\cos \theta t$

Desparametrizando o tempo (t) na última equação, temos que $t=\frac{x}{v_o\cos \theta }$. Substituindo em y:

$\begin{array}{ccc}y& =& v_o\sin \theta \left(\frac{x}{v_o\cos \theta }\right)-\frac{g}{2}{\left(\frac{x}{v_o\cos \theta }\right)}^2\\ & =& \tan \theta \times x-\frac{g{x}^2}{2v_o^2{\cos }^2\theta }\end{array}$ 

A altura máxima do projétil será alcançada no instânte $t_{max}$ em que v_y é nulo. Logo

$v_y=v_o\sin \theta -gt\Rightarrow t_{max}=\frac{v_o\sin \theta }{g}$
$y_{max}=\frac{v_o^2{\sin }^2\theta }{2g}$ 

E como o movimento no eixo y é acelerado podemos dizer que

$v^2=v_o^2+2a\mathrm{\Delta }y\Rightarrow v_y=\sqrt{v_o^2{\sin }^2\theta -2g\mathrm{\Delta }y}$

Podemos também chamar de A o alcance do projétil; e sabendo que ele leva o dobro do tempo que leva até $y_{max}$ para alcançar A

$x=v_o\cos \theta t$
$A=v_o\cos \theta \times \frac{2v_o\sin \theta }{g}$
$A=\frac{v_o^2}{g}\sin 2\theta$