Matemática elementar/Trigonometria/Lei dos senos e dos cossenos

Lei dos cossenos

Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. A saber:

$a^2=b^2+c^2-2b\cdot c\cdot \cos \hat{A}:$ $b^2=a^2+c^2-2a\cdot c\cdot \cos \hat{B}:$ $c^2=a^2+b^2-2a\cdot b\cdot \cos \hat{C}$

Demonstração

Esta é uma das maneiras de demonstrar a lei dos cossenos.

Considerando a figura, podemos observar três triângulos: $ABC,BCD,BAD.$

Destes, pode-se extrair as seguintes relações: $b=n+m$ e $m=c\cdot \cos \hat{A}.$

Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos:

• Para $BCD:$ $a^2=n^2+h^2$
• Para $BAD:$ $c^2=m^2+h^2$

Substituindo $n=b-m$ e $h^2=c^2-m^2$ em $a^2=n^2+h^2:$

$a^2=(b-m{)}^2+c^2-m^2$

$\Rightarrow a^2=b^2-2b\cdot m+m^2+c^2-m^2$

$\Rightarrow a^2=b^2+c^2-2b\cdot m$

Entretanto, pode-se substituir a relação $m=c\cdot cos\hat{A},$ do triângulo $BAD,$ na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:

$a^2=b^2+c^2-2b\cdot c\cdot \cos \hat{A}$

Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:

$b^2=a^2+c^2-2a\cdot c\cdot \cos \hat{B}$

$c^2=a^2+b^2-2a\cdot b\cdot \cos \hat{C}$

Aplicação

A Lei dos Cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triângulo conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do ângulo oposto a esse. Ela também permite calcular todos os ângulos de um triângulo, desde que se saiba o comprimento de todos os lados.

Exemplos

• Considere um triângulo de lados $p,$ $q$ e $r,$ sendo que o comprimento de $p$ é 2 metros e o comprimento de $q$ é $\sqrt{3}$ metros. Os lados $p$ e $q$ definem um ângulo de 30º. Calcule o comprimento de $r.$

• • Resolução

Dada a Lei dos Cossenos, $r^2=p^2+q^2-2p\cdot q\cdot \cos \hat{A}$ tem-se que $p=2,$ $q=\sqrt{3}$ e $\hat{A}=30^{\circ }$ portanto:

$r^2=2^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2-2\cdot 2\cdot \sqrt{3}\cdot \cos 30^{\circ }:$ $r^2=4+3-4\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}:$ $r^2=7-2\cdot 3:$ $r^2=7-6:$ $r^2=1:$ $r=1:$ O comprimento de $r$ é 1 metro.

• Prove por Lei dos Cossenos que o triângulo eqüilátero também é eqüiângulo

• • Resolução

Dado um triângulo eqüilátero de lados $l_1,$ $l_2$ e $l_3,$ por definição tem-se que $l_1=l_2=l_3.$ Sejam $x,$ $y$ e $z$ os ângulos deste triângulo. Aplicando a Lei dos Cossenos:

$l^2=l^2+l^2-2l\cdot l\cdot \cos x:$ $l^2=2l^2-2l^2\cdot \cos x:$ $l^2-2l^2=(2l^2-2l^2\cdot \cos x)-2l^2:$ $-l^2=-2l^2\cdot \cos x:$ $\frac{-l^2}{-2l^2}=\frac{-2l^2\cdot \cos x}{-2l^2}:$ $\frac{1}{2}=\cos x:$ $x=60^{\circ }:$ O mesmo vale para $y$ e $z:$

$l^2=l^2+l^2-2l\cdot l\cdot \cos y:$ $l^2=l^2+l^2-2l\cdot l\cdot \cos z$

Lei dos senos

O seno de um ângulo de um triângulo qualquer é proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo. A saber:

$\frac{a}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{A}}=\frac{b}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{B}}=\frac{c}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{C}}=2r$

Demonstração

Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo $ABC$ qualquer inscrito em uma circunferência de raio $r.$ A partir do ponto $B$ pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto $D$ e, ligando $D$ a $C$ formamos um novo triângulo $BCD$ retângulo em $C.$

Da figura, podemos perceber também que $\hat{A}=\hat{D}$ porque determinam na circunferência uma mesma corda $\overline{BC}.$ Desta forma, podemos relacionar:

$\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{D}=\frac{a}{2r}$ $\Rightarrow a=2r\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{A}$ $\Rightarrow \frac{a}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{A}}=2r$

Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos $\hat{B}$ e $\hat{C}$ teremos as relações:

$\frac{b}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{B}}=2r$ e $\frac{c}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{C}}=2r,$ em que $b$ é a medida do lado $AC$ oposto a $\hat{B}$ $c$ é a medida do lado $AB$ oposto a $\hat{C}$ e $2r$ é uma constante.

Logo, podemos concluir que:

• $\frac{a}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{A}}=\frac{b}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{B}}=\frac{c}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{C}}=2r$

Lei das tangentes

Seja um triângulo não isósceles e não retângulo $ABC$ cujos ângulos internos e medidas dos lados estão indicadas na figura. A lei das tangentes estabelece que, para qualquer triângulo que não seja isósceles nem retângulo, valem as seguintes relações:

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan [\frac{1}{2}(\hat{A}+\hat{B})]}{\tan [\frac{1}{2}(\hat{A}-\hat{B})]},$ $\frac{a+c}{a-c}=\frac{\tan [\frac{1}{2}(\hat{A}+\hat{C})]}{\tan [\frac{1}{2}(\hat{A}-\hat{C})]},$ $\frac{b+c}{b-c}=\frac{\tan [\frac{1}{2}(\hat{B}+\hat{C})]}{\tan [\frac{1}{2}(\hat{B}-\hat{C})]}$

Demonstração

Para demonstrar a Lei das tangentes, podemos partir da Lei dos senos:

$\frac{a}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{A}}=\frac{b}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{B}}$ $\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{A}}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{B}}$

Usando uma propriedade das proporções, temos que:

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{A}+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{B}}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{A}-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{B}}$

Substituindo nessa equação as fórmulas de transformação de soma em produto, temos:

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{2\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\frac{\hat{A}+\hat{B}}{2}\cdot \cos \frac{\hat{A}-\hat{B}}{2}}{2\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\frac{\hat{A}-\hat{B}}{2}\cdot \cos \frac{\hat{A}+\hat{B}}{2}}$

$\Rightarrow \frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan [\frac{1}{2}(\hat{A}+\hat{B})]}{\tan [\frac{1}{2}(\hat{A}-\hat{B})]}$

Analogamente, pode-se provar as outras duas relações.

Exercícios

• Ver: Matemática elementar/Trigonometria/Lei dos senos e dos cossenos/Exercícios