Matemática elementar/Expressões algébricas

Produtos notáveis são expressões matemáticas padronizadas, em que um produto ou uma potência pode ser expressa através de uma soma de monômios.

A operação inversa se chama fatoração algébrica, que consiste em expressar um polinômio como o produto de polinômios (usualmente binômios) mais simples.

O desenvolvimento dos produtos notáveis é um passo fundamental na simplificação de expressões que envolvem somas ou subtrações, como na resolução de vários tipos de equação.

A fatoração, por outro lado, é fundamental na simplificação de expressões que envolvem a divisão de polinômios, e também é importante na resolução de equações polinomiais.

Produtos notáveis

Quadrado da soma de dois termos

$(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$.

Exemplos:

• $(8x+a{)}^2=64x^2+16ax+a^2$
• ${(\frac{4x}{5y}-z)}^2=\frac{16x^2}{25y^2}-\frac{8xz}{5y}+z^2$

Quadrado da diferença de dois termos

$(x-y{)}^2=x^2-2xy+y^2$ 

Exemplos:

• $(1-2x{)}^2=1-4x+4x^2$
• ${(\frac{3x}{4y}-n)}^2=\frac{9x^2}{16y^2}-\frac{6xn}{4y}+n^2$

Cubo da soma de dois termos

$(x+y{)}^3=x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3$

Exemplos:

• $(m+3n{)}^3=m^3+9m^{2}n+27m{n}^2+27n^3$
• $(x+2{)}^3=x^3+6x^2+12x+8$

Cubo da diferença de dois termos

$(x-y{)}^3=x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3$

Exemplos:

• $(b-2c{)}^3=b^3-6b^{2}c+12b{c}^2-8c^3$
• ${(\frac{x}{y}-\frac{a}{b})}^3=\frac{x^3}{y^3}-\frac{3a{x}^2}{b{y}^2}+\frac{3a^{2}x}{b^{2}y}-\frac{a^3}{b^3}$

Exercícios

• Ver Matemática elementar/Expressões algébricas/Produtos notáveis/Exercícios.

Fatoração algébrica

Fatoração pelo fator comum em evidência

Considere o polinômio $14ab+7bc$, seu fator comum em evidência é $7b$, dividindo cada termo do polinômio pelo fator comum em evidência $14ab:7b=2a$ e $7bc:7b=c$, a forma fatorada de um polinômio pelo fator comum em evidência é igual ao produto do fator comum em evidência pelo polinômio obtido da divisão de cada termo do polinômio, logo a forma fatorada de $14ab+7bc=7b.(2a+c)$. O fator comum em evidência pode ser aplicado em todos os termos do polinômio.

Outros exemplos:

• $15x+9y=3.(5x+3y)$
• $50-10y=10.(5-y)$

Fatoração por agrupamento

Observe o polinômio $ab-b^2+2a-2b$. Este polinômio não possui um fator comum para ser aplicado em todo o mesmo, a solução é fazer pequenos grupos de polinômios a partir do polinômio principal, veja:

$ab-b^2+2a-2b=(ab-b^2)+(2a-2b)$, logo podemos fatorar os pequenos grupos formados do polinômio principal:

$ab-b^2=b(a-b)$

$2a-2b=2(a-b)$, obtemos a fatoração de $ab-b^2+2a-2b=b(a-b)+2(a-b)$, nota-se que os termos entre parênteses são iguais, permitindo uma nova aplicação do fator comum em evidência: $(a-b)(b+2)$. A forma fatorada de $ab-b^2+2a-2b=b(a-b)+2(a-b)=(a-b)(b+2)$.

Outro exemplo:

$a^4-a^5+a^{2}b-a^{3}b=a^2(a^2-a^3)+b(a^2-a^3)=(a^2-a^3)(a^2+b)$

Fatoração da diferença de dois quadrados

$x^2-y^2=(x+y).(x-y)$

Considere o polinômio $m^2-n^2$, que é uma diferença de dois quadrados, para fatorar o mesmo devemos obter a raiz quadrada do primeiro termo $\sqrt{m^2}=m$ menos a raiz quadrada do segundo termo $-\sqrt{n^2}=-n$, logo temos $\sqrt{m^2}-\sqrt{n^2}=m-n$, devemos, agora, multiplicar o polinômio resultante das raízes dos termos iniciais pelo seu oposto: $(m-n).(m+n)$, logo a fatoração da diferença de dois quadrados é igual à raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo vezes o oposto: $m^2-n^2=(\sqrt{m^2}-\sqrt{n^2}).(\sqrt{m^2}+\sqrt{n^2})=(m-n).(m+n)$, ou simplesmente $m^2-n^2=(m-n).(m+n)$.

Outros exemplos:

• $(n+8{)}^2-1=[(n+8)+1].[(n+8)-1]=[n+8+1].[n+8-1]=[n+9].[n+7]$
• $a^4-b^4=(a^2+b^2).(a^2-b^2)=(a-b).(a+b).(a^2+b^2)$

Fatoração do trinômio quadrado perfeito

Considere o polinômio $4x^2+4xy+y^2$, que é um trinômio quadrado perfeito, pois representa $(2x+y{)}^2$, mas como saber se um trinômio é ou não quadrado perfeito?

Ainda considerando o polinômio $4x^2+4xy+y^2$, vamos obter a raiz quadrada do primeiro termo $\sqrt{4x^2}=2x$ e a raiz quadrada do terceiro termo $\sqrt{y^2}=y$, finalmente multiplicamos por dois o produto das raízes para verificar se o resultado é igual ao segundo termo do polinômio ($4xy$): $2.2x.y=4xy$, o resultado é igual ao segundo termo do polinômio, logo o mesmo é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é $4x^2+4xy+y^2=(2x+y{)}^2$.

Outro exemplo:

$x^2-8xy+16y^2=\sqrt{x^2}-\sqrt{16y^2}=x-4y(2.x.(-4y)=(-8xy)=(x-4y{)}^2$ ou $x^2-8xy+16y^2=(x-4y{)}^2$

Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos

As expressões usadas são:

$x^3+y^3=(x+y).(x^2-xy+y^2)$

$x^3-y^3=(x-y).(x^2+xy+y^2)$

Observe a multiplicação resolvida através da propriedade distributiva:

$(a+b).(a^2-ab+b^2)=a^3-a^{2}b+a{b}^2+a^{2}b-a{b}^2+b^3=a^3+b^3$, tendo este cálculo como base, podemos dizer que $a^3+b^3=(a+b).(a^2-ab+b^2)$, logo, a fatoração do polinômio $a^3+b^3$ é igual à raiz cúbica do primeiro termo $\sqrt[3]{a^3}=a$, mais a raiz cúbica do segundo termo $\sqrt[3]{b^3}=b$ vezes o quadrado do primeiro termo $a^2$, o produto dos dois termos com o sinal oposto $-ab$ mais o quadrado do segundo termo $b^2$, formando:$a^3+b^3=(a+b).(a^2-ab+b^2)$.

Outros exemplos:

• $x^3-y^3=(x-y).(x^2+xy+y^2)$
• $\frac{x^3}{8}+\frac{y^3}{27}=(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}).(\frac{x^2}{4}-\frac{xy}{6}+\frac{y^2}{9})$

Fatoração do trinômio do segundo grau

Observe o trinômio $x^2-2x-35$, cuja forma fatorada é $(x-7).(x+5)$, para realizar sua fatoração devemos obter dois números que somados dêem o coeficiente do segundo termo do polinômio (-2x) e multiplicados dêem o terceiro termo do polinômio (-35), e escrevê-los como produto de dois termos entre parênteses, veja outros exemplos:

• $a^2+8a+12=(a+2).(a+6)$
• $x^2-15x-100=(x-20).(x+5)$
• $y^2+y-72=(y+9)(y-8)$

Fatoração completa

A fatoração completa implica a união de todos os métodos de fatoração de polinômios para tornar um polinômio fatorado ao máximo, ou seja, que não pode ser mais fatorado. Considere o polinômio $x^4-y^4$, que é a diferença de dois quadrados, fatorando-o temos: $x^4-y^4=(x^2-y^2).(x^2+y^2)$, note que o primeiro termo da fatoração [$(x^2-y^2)$] é uma diferença de dois quadrados, devemos fatora-lo: $x^4-y^4=(x^2-y^2).(x^2+y^2)=(x-y).(x+y).(x^2+y^2)$, assim, temos a fatoração completa do polinômio $x^4-y^4$.

Outros exemplos:

• $\frac{x^6}{64}-\frac{y^6}{729}=(\frac{x^3}{8}-\frac{y^3}{27}).(\frac{x^3}{8}+\frac{y^3}{27})=[(\frac{x}{2}-\frac{y}{3}).(\frac{x^2}{4}+\frac{xy}{6}+\frac{y^2}{9})].[(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}).(\frac{x^2}{4}-\frac{xy}{6}+\frac{y^2}{9})]$
• $3x^2-6x+3=3.(x^2-2x+1)=3.(x-1{)}^2$
• $a^2+2ab+b^2-c^2=(a+b{)}^2-c^2=(a+b-c)(a+b+c)$

Fatoração por artifício

Em alguns casos, a fatoração só é possível com a utilização de algum artifício. Exemplo;

Fatore a expressão algébrica: $x^4+4x^2{y}^2+16y^4$.

$(x^4+4x^2{y}^2+16y^4+4x^2{y}^2)-4x^2{y}^2=$

$x^4+8x^2{y}^2+16y^4-4x^2{y}^2=(x^2+4y^2{)}^2-4x^2{y}^2=(x^2+4y^2+2xy)(x^2+4y^2-2xy)$

Artifício utilizado: Adicionamos e subtraímos o termo $4x^2{y}^2$, não alterando, assim, o valor da expressão e possibilitando a obtenção de trinômio quadrado perfeito para a realização da expressão.

Outro exemplo:

$x^5+x+1$

Artifício utilizado: soma-se e subtrai-se $x^2$, obtendo-se logo em seguida uma soma de cubos:

$x^5+x+1=x^5-x^2+x^2+x+1=x^2(x^3-1)+x^2+x+1=x^2(x-1)(x^2+x+1)+1(x^2+x+1)=(x^2(x-1)+1)(x^2+x+1)=(x^3-x^2+1)(x^2+x+1)$

Um passo intermediário que pode ser usado como artifício é a expressao da soma de dois quadrados:

$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy$

Polinômios irredutíveis

Alguns polinômios não podem ser fatorados, estes são chamados de polinômios irredutíveis, mas o estudo destes polinômios deve ficar para um livro mais avançado.

Exercícios

• Ver Matemática elementar/Polinômios/Exercícios.

Problemas resolvidos

Caso 1

Uma indústria produz apenas dois tipos de camisas: o primeiro com preço de R$45,00 a unidade e o segundo com o preço de R$67,00 a unidade. Se chamarmos de x a quantidade vendida do primeiro tipo e de y a quantidade vendida do segundo tipo.

• Qual a expressão algébrica da venda desses dois artigos?
• Qual o valor se forem vendidos 200 e 300 unidades respectivamente?

Caso 2

O segundo caso de fatoração é: agrupamento, onde há 4 ou mais termos. Temos como exemplo:

• ax+ay+bx+by = a(x+y)+b(x+y)= (x+y)(a+b).
• Colocamos o 'x+y' em evidência e quem os multiplica também.

Caso 3

Diferença entre dois quadrados.

Caso 4

Trinômio quadrado perfeito.

Caso 5

Soma e produto

Exercícios

• Ver Matemática elementar/Polinômios/Exercícios

Fração algébrica

Simplificação

15x²-15xy²=15x(x-y²)