Mostrar código-fonte de Medida e integração/Conjuntos de medida nula



Assim como nos capítulos anteriores, ao longo deste capítulo será suposto fixado um [[../Medida#defi:esp-com-medida|espaço com medida]] <math>(X, \mathfrak{M}, \mu).</math> 

{{Âncora|defi:conj-med-nula}}
{{Definição|7.1
|Dado um [[../Medida#defi:esp-com-medida|espaço com medida]] <math>(X, \mathfrak{M}, \mu),</math> e um [[../Mensurabilidade#defi:conj-mens|subconjunto mensurável]] <math>Z \in \mathfrak{M},</math> diz-se que <math>Z</math> é um '''conjunto de medida nula''' quando
{{Fórmula|<math>\mu(Z) = 0\,</math>}}
}}

{{Âncora|defi:qtp|defi:qs}}
{{Definição
|Considere um [[../Medida#defi:esp-com-medida|espaço com medida]] <math>(X, \mathfrak{M}, \mu)</math> e uma propriedade <math>P</math> que os pontos <math>x</math> de <math>X</math> podem verificar ou não. Se <math>E</math> é um [[../Mensurabilidade#defi:conj-mens|conjunto mensurável]], diz-se que '''<math>\mathbf{P}</math> vale quase sempre em <math>E</math>''' ou que '''<math>\mathbf{P}</math> vale em quase todo ponto de <math>E</math>''' quando existe um conjunto <math>N \in \mathfrak{M}</math> contido em <math>E,</math> tal que <math>\mu(N) = 0</math> e que <math>P</math> vale em <math>E \smallsetminus N.</math> 
}}

A noção que acaba de ser definida será usada com grande frequência e por isso será abreviada como '''<math>P</math> vale q.s. em <math>E</math>''' ou como '''<math>P</math> vale em q.t.p. de <math>E</math>'''.

Observe que o conceito depende fortemente da medida <math>\mu,</math> então quando for preciso evitar ambiguidades, ela será indicada explicitamente, como por exemplo em '''<math>P</math> vale q.s.<math>[\mu]</math> em <math>E</math>'''.

A seguir serão apresentados vários exemplos de "propriedades que valem quase sempre" em diferentes contextos, de modo que o leitor possa se familializar com este novo conceito. Por simplicidade, será usado sempre <math>\Gamma</math> para denotar indistintamente qualquer dos conjuntos <math>\overline{\mathbb{R}},</math> <math>\overline{\mathbb{R}}_{+}</math> e <math>\mathbb{K}.</math> 
{{Exemplo
|Diz-se que <math>f: E \mapsto \Gamma</math> está definida q.s.<math>[\mu]</math> em <math>E</math> quando existe um [[../Mensurabilidade#defi:conj-mens|conjunto mensurável]] <math>N \subset E,</math> tal que <math>\mu(N) = 0</math> e que <math>E \smallsetminus N \subset \operatorname{Dom} f.</math> Neste caso, a notação <math>f: E \mapsto \Gamma</math> não significa que <math>E</math> é o domínio de <math>f,</math> mas apenas que <math>\operatorname{Dom} f \subset E.</math> Aqui, a afirmação de que "<math>x</math> está no domínio de <math>f</math>" corresponde à propriedade <math>P(x)</math> da definição anterior.
}}

{{Exemplo
|Se <math>f_1, f_2: E \mapsto \Gamma</math> são funções definidas q.s.<math>[\mu]</math> em <math>E,</math> diz-se que '''<math>f_1</math> é igual a <math>f_2</math> q.s.<math>[\mu]</math> em <math>E</math>''' se existir um [[../Mensurabilidade#defi:conj-mens|conjunto mensurável]] <math>N \subset E,</math> tal que <math>\mu(N) = 0,</math> <math>E \smallsetminus N \subset \operatorname{Dom} f_1 \cap \operatorname{Dom} f_2</math> e que <math>f_1(x) = f_2(x),</math> <math>\forall x \in E \smallsetminus N.</math> Quando este é o caso, utiliza-se a notação "<math>f_1 = f_2</math> q.s.<math>[\mu]</math>" ou "<math>f_1 \stackrel{q.s.}{=} f_2</math>". A a propriedade <math>P(x)</math> corresponde à afirmação de que "<math>f_1(x) = f_2(x)</math>".

Note que por serem funções definidas q.s.<math>[\mu]</math> em <math>E,</math> existem [[../Mensurabilidade#defi:conj-mens|conjuntos mensuráveis]] <math>N_1</math> e <math>N_2</math> de medida nula tais que <math>\operatorname{Dom} f_i \supset E \smallsetminus N_i,</math> para <math>i = 1, 2.</math> Deste modo, pode-se trocar a exigência de que <math>E \smallsetminus N \subset \operatorname{Dom} f_1 \cap \operatorname{Dom} f_2</math> por <math>N_1 \cup N_2 \subset N.</math> De fato, quando <math>N_1 \cup N_2 \subset N</math> tem-se
{{Fórmula|<math>x \in E \smallsetminus N \Rightarrow x \notin N \Rightarrow x \notin N_1 \cup N_2 \Rightarrow x \in E \smallsetminus N_i \Rightarrow x \in \operatorname{Dom} f_1 \cap \operatorname{Dom} f_2.</math>}}
Assim, a igualdade "<math>f_1(x) = f_2(x),</math> <math>\forall x \in E \smallsetminus N</math>", faz sentido pois os elementos de <math>E \smallsetminus N</math> pertencem aos domínios de ambas as funções.
}}

Mais adiante (na [[#defi:fun-qs-mens|Definição ???]]), será dado o significado da mensurabilidade de funções que estejam definidas q.s.<math>[\mu]</math> em <math>E.</math> Então, se for suposto que as funções <math>f_i</math> do exemplo anterior forem mensuráveis, e que as imagens de ambas estão contidas em <math>\mathbb{K},</math> é possível comprovar que o conjunto <math>N</math> pode ser trocado por <math>\{x \in E | f_1(x) \not= f_2(x)\}.</math> De fato, como <math>\{x \in E | f_1(x) \not= f_2(x)\} = \left(f_1 - f_2\right)^{-1}(\mathbb{K^{*}}),</math> este conjunto é [[../Mensurabilidade#defi:conj-mens|mensurável]], pois <math>\mathbb{K^{*}}</math> é um aberto e <math>f_1 - f_2</math> é mensurável. Assim, tem-se que <math>f_1</math> é igual a <math>f_2</math> q.s.<math>[\mu]</math> em <math>E</math> se, e somente se, <math>\mu(\{x \in E | f_1(x) \not= f_2(x)\}) = 0.</math> 
{{Exemplo
|Se <math>\left(f_n\right)_{n \in \mathbb{N}}</math> é uma sequência de funções tal que cada <math>f_n: E \mapsto \Gamma</math> está definida q.s.<math>[\mu]</math> em <math>E,</math> diz-se que a sequência converge (ou tende) q.s.<math>[\mu]</math> para a função <math>f: E \mapsto \Gamma</math> (também definida q.s.<math>[\mu]</math> em <math>E</math>) caso exista um [[../Mensurabilidade#defi:conj-mens|conjunto mensurável]] <math>N \subset E,</math> tal que <math>\mu(N) = 0</math> e que <math>\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)</math> em <math>E \smallsetminus N.</math> Se este for o caso, utiliza-se uma das seguintes notações: <math>f_n \to f</math> q.s.<math>[\mu],</math> <math>f_n \stackrel{q.s.}{\to} f,</math> <math>f \stackrel{q.s.}{=} \lim_{n \to \infty} f_n</math> ou <math>f \stackrel{q.s.}{=} \lim f_n.</math> 
}}

{{Exemplo
|Diz-se que <math>f: E \mapsto \overline{\mathbb{R}}</math> é finita q.s.<math>[\mu]</math> em <math>E</math> se existe um [[../Mensurabilidade#defi:conj-mens|conjunto mensurável]] <math>N \subset E,</math> tal que <math>\mu(N) = 0</math> e que <math>f(x) \in \mathbb{R}, \forall x \in E \smallsetminus N.</math> 
}}

Ao longo dos próximos parágrafos serão apresentados resultados e definições com o objetivo de definir a "mensurabilidade" e a "integral" de "funções definidas quase sempre", isto é, de dizer o que significam coisas como:
# A frase "<math>f:X \to \Gamma</math> está definida q.s.<math>[\mu]</math> em <math>X</math> e <math>f</math> é mensurável";
# A integral "<math>\int_X f \text{d}\mu</math>", no caso de <math>f</math> ser uma função do tipo acima.

Lembrando que <math>f:X \to \Gamma</math> está definida q.s.<math>[\mu]</math> em <math>X</math> quando existe algum [[../Mensurabilidade#defi:conj-mens|conjunto mensurável]] <math>N \subset X</math> (não necessariamente único), tal que <math>\mu(N) = 0</math> e que <math>X \smallsetminus N = N^{c} \subset \operatorname{Dom} f,</math> poderia ser feita uma tentativa de definir a mensurabilidade dizendo que tal função <math>f</math> é mensurável se sua restrição <math>f|_{N^{c}}: N^{c} \to \Gamma</math> for mensurável. No entanto, como o conjunto <math>N</math> não tem motivo para ser único, se <math>N' \subset X</math> for outro [[../Mensurabilidade#defi:conj-mens|conjunto mensurável]], para o qual <math>\mu(N') = 0</math> e <math>N'^{c} \subset \operatorname{Dom} f,</math> este conceito de mensurabilidade só estaria bem definido se fosse independente da escolha de <math>N,</math> isto é, se <math>f|_{N^{c}}</math> fosse mensurável exatamente quando <math>f|_{N'^{c}}</math> fosse mensurável. O leitor pode imaginar a dificuldade que resultaria de seguir esta direção, observando que não há uma relação simples entre os conjuntos <math>N^{c}</math> e <math>N'^{c}.</math> 

Uma alternativa mais simples consiste em investigar as propriedades e consequências da seguinte [[#defi:fun-qs-mens-prov|definição provisória]] para o conceito de mensurabilidade:
{{Âncora|defi:fun-qs-mens-prov}}
{{Definição
|Uma função <math>f:X \to \Gamma</math> definida q.s.<math>[\mu]</math> em <math>X</math> é '''mensurável em <math>X</math>''' se <math>f^{-1}(V) \in \mathfrak{M}</math> para cada aberto <math>V</math> de <math>\Gamma.</math> 
}}

Para evitar que seja feita confusão, nos próximos parágrafos será usada a expressão "mensurável no sentido usual" para indicar que uma função é mensurável de acordo com a [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|Definição ???]].

O lema a seguir mostra como construir, por exemplo, uma [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|função mensurável no sentido usual]] <math>f:X \to \Gamma</math> quando já se conhece uma função <math>f:X \to \Gamma</math> definida q.s.<math>[\mu]</math> que seja [[#defi:fun-qs-mens-prov|mensurável em <math>X</math>]] (no sentido da [[#defi:fun-qs-mens-prov|definição anterior]]).
{{Lema
|Seja <math>f:X \to \Gamma</math> definida q.s.<math>[\mu]</math> em <math>X</math> uma [[#defi:fun-qs-mens-prov|função mensurável em X]]. Se <math>N \in \mathfrak{M},</math> <math>\mu(N) = 0</math> e <math>N^{c} \subset \operatorname{Dom} f,</math> então a função <math>\tilde{f}:X \to \Gamma</math> definida por
{{Fórmula|<math>\tilde{f}(x) = 
\begin{cases}
f(x) &, \text{ se } x \in N^{c}\\
0    &, \text{ se } x \in N
\end{cases}</math>}}
é [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|mensurável no sentido usual]].
}}

Observe que o domínio da função <math>\tilde{f}</math> é todo o conjunto <math>X.</math> Além disso, por definição, existe um conjunto <math>N</math> com as propriedades indicadas no enunciado e a função <math>\tilde{f}</math> construída varia conforme a escolha deste conjunto <math>N.</math> Uma função <math>\tilde{f}</math> construída como no lema anterior será chamada de '''redefinição de <math>f</math>'''. Com essa nomenclatura, o lema anterior expressa o fato de que toda redefinição <math>\tilde{f}</math> de uma função <math>f</math> [[#defi:fun-qs-mens-prov|mensurável em <math>X</math>]] é também [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|mensurável no sentido usual]].

Uma forma alternativa de se construir uma redefinição de uma função <math>f</math> dada é estendê-la a todo <math>X</math> atribuindo valores arbitrários aos pontos do conjunto de medida nula <math>N</math> e então definir <math>\tilde{f}</math> multiplicando <math>f</math> pela função característica de <math>N^{c}</math> (que irá zerar nos pontos de <math>N</math>):
{{Fórmula|<math>\tilde{f} = X_{N^{c}} \cdot f.</math>}}

É comum alguns autores (citação???) usarem a expressão anterior para definir uma redefinição de <math>f</math> sem antes atribuir valores arbitrários para os pontos de <math>N.</math> Para isso, é convencionado (apenas por questões de praticidade) que "o produto de zero por algo que não existe dá zero".

Fazendo uso do lema anterior, é possível reformular a [[#defi:fun-qs-mens-prov|definição provisória]] do conceito de mensurabilidade (de funções definidas quase sempre). A forma mais geral do conceito é como segue:

{{Âncora|defi:fun-qs-mens}}
{{Definição
|Uma função <math>f:X \to \Gamma</math> definida q.s.<math>[\mu]</math> em <math>X</math> é '''mensurável em <math>X</math>''' quando toda redefinição <math>\tilde{f}</math> de <math>f</math> for [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|mensurável no sentido usual]].
}}

{{Lema
|Seja <math>\left(f_n\right)_{n \in \mathbb{N}}</math> uma sequência de funções tal que cada <math>f_n: X \mapsto \Gamma</math> está definida q.s.<math>[\mu]</math> em <math>X.</math> Se a sequência converge q.s.<math>[\mu]</math> para a função <math>f: E \mapsto \Gamma</math> e cada <math>f_n</math> é [[#defi:fun-qs-mens|mensurável]] então <math>f</math> é [[#defi:fun-qs-mens|mensurável]] (sempre no sentido da [[#defi:fun-qs-mens|definição anterior]]).
}}

{{Observação
|Neste ponto é razoável acrescentar uma nota sobre a coerência entre as duas definições de mensurabilidade de funções que foram apresentadas até o momento. Se uma função <math>f:X \to \Gamma</math> tem <math>X</math> como domínio, pode-se dizer que a mesma está definida quase sempre em <math>X,</math> pois
{{Fórmula|<math>\exists N = \emptyset \in \mathfrak{M} \text{ tal que } N = \emptyset \subset X \text{ e } \operatorname{Dom} f = X \supset N^{c} = \emptyset^{c} = X.</math>}}
Sendo assim, em uma primeira análise, vê-se que existem dois sentidos nos quais a função <math>f</math> pode ser ou não mensurável:
# No sentido usual, dado pela [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|Definição ???]]; ou
# Conforme a [[#defi:fun-qs-mens|Definição ???]] que acaba de ser apresentada.
Felizmente, os dois conceitos coincidem. De fato, se uma função <math>f</math> é mensurável conforme a [[#defi:fun-qs-mens|Definição ???]], então a redefinição <math>\tilde{f} = f \cdot X_{\emptyset^{c}}</math> é [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|mensurável no sentido usual]], e consequentemente <math>f</math> também é [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|mensurável]], pois <math>\operatorname{Dom} f = X</math> implica que <math>f = \tilde{f}.</math> Reciprocamente, se <math>f</math> é [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|mensurável no sentido usual]], então <math>f</math> também é mensurável em <math>X</math> (definição ???). Logo, aplicando o [[#lema:redefs-mens|Lema ???]] conclui-se que qualquer redefinição de <math>f</math> é mensurável, isto é, <math>f</math> é mensurável de acordo com a [[#defi:fun-qs-mens|Definição ???]].
}}

{{Observação
|Pode-se estender as definições e resultados anteriores para o caso de funções <math>f: E \to \Gamma</math> (em vez de <math>f: X \to \Gamma</math>), em que <math>E \in \mathfrak{M},</math> bastando trocar <math>(X, \mathfrak{M}, \mu)</math> por <math>(X, \mathfrak{M}|_{E}, \mu|_{E})</math> conforme foi feito em ???. Assim, fixando-se um [[../Medida#defi:esp-com-medida|espaço com medida]] <math>(X, \mathfrak{M}, \mu),</math> um [[../Mensurabilidade#defi:conj-mens|conjunto mensurável]] <math>E \in \mathfrak{M},</math> e uma função <math>f: E \to \Gamma</math> definida q.s.<math>\mu,</math> chama-se de '''redefinição de <math>f</math>''' a qualquer função <math>\tilde{f}</math> definida como
{{Fórmula|<math>\tilde{f}(x) = 
\begin{cases}
f(x) &, \text{ se } x \in E \smallsetminus N \\
0    &, \text{ se } x \in N
\end{cases}</math>}}
onde <math>N \in \mathfrak{M}</math> é um subconjunto de <math>E,</math> de medida é nula, tal que <math>E \supset \operatorname{Dom} f \supset E \smallsetminus N.</math> A função <math>f</math> diz-se '''mensuravel''' se cada uma de suas redefinições for [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|mensurável no sentido usual]] (o que faz sentido já que <math>\operatorname{Dom} \tilde{f} = E</math>).
}}

Para dar continuidade ao que foi iniciado logo depois do exemplo ???, o próximo passo é dar sentido à notação <math>\int_X f \text{d}\mu</math> no caso de <math>f:X \to \Gamma</math> ser uma função mensurável definida q.s.<math>[\mu]</math> em <math>X.</math> Antes disso, porém, será introduzida uma notação adicional e serão deduzidos alguns resultados preliminares bastante simples.

Conforme o exemplo ???, <math>f_1 = f_2</math> q.s.<math>[\mu]</math> significa existir um [[../Mensurabilidade#defi:conj-mens|conjunto mensurável]] <math>N \subset E,</math> tal que <math>\mu(N) = 0,</math> <math>E \smallsetminus N \subset \operatorname{Dom} f_1 \cap \operatorname{Dom} f_2</math> e que <math>f_1(x) = f_2(x),</math> <math>\forall x \in E \smallsetminus N.</math> O leitor pode verificar que a relação de "ser igual quase sempre em um conjunto em relação a uma certa medida" é, na verdade, uma relação de equivalência sobre o conjunto
{{Fórmula|<math>\mathcal{M}(E; \overline{\mathbb{R}}) := \{f: E \mapsto \overline{\mathbb{R}}| f \text{ e mensuravel}\}.</math>}}
Isto justifica o uso de notações adicionais como <math>f \stackrel{\mu}{\sim} g</math> ou <math>f \stackrel{E}{\sim} g</math> (ou simplesmente <math>f \sim g</math>) quando as funções <math>f</math> e <math>g</math> forem iguais quase sempre <math>[\mu]</math> em <math>E.</math> 
{{Proposição
|Sejam <math>(X, \mathfrak{M}, \mu)</math> um [[../Medida#defi:esp-com-medida|espaço com medida]] e <math>E \in \mathfrak{M}.</math> Se <math>f, g: E \to \overline{\mathbb{R}}_{+}</math> são [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|funções mensuráveis]] então:
# Se <math>N \in \mathfrak{M},</math> <math>N \subset E</math> e <math>\mu(N)</math> então <math>\int_{E} f = \int_{E \smallsetminus N} f;</math> 
# Se <math>f = g</math> q.s.<math>[\mu]</math> em <math>E</math> então <math>\int_{E} f = \int_{E} g;</math> 
# <math>f = 0</math> q.s.<math>[\mu]</math> em <math>E</math> se, e somente se, <math>\int_{E} f = 0;</math> 
}}

{{Lema
|Sejam <math>(X, \mathfrak{M}, \mu)</math> um [[../Medida#defi:esp-com-medida|espaço com medida]] e <math>f: E \to \overline{\mathbb{R}}_{+}</math> uma função definida q.s.<math>[\mu]</math> em <math>E.</math> Se <math>E \in \mathfrak{M}</math> e <math>\tilde{f_1}, \tilde{f_2}: E \to \overline{\mathbb{R}}_{+}</math> são redefinições de <math>f</math> então <math>\int_{E} \tilde{f_1} = \int_{E} \tilde{f_2}.</math> 
}}

Agora já é possível definir a integral de funções definidas q.s.<math>[\mu]</math> em <math>E.</math> 
{{Definição
|...
}}

== Notas ==
<references group="ver nota"/>

== Referências ==
<references/>

== Ver também ==
{{wikipedia|Conjunto de medida zero}}

{{AutoCat}}