Mostrar código-fonte de Mecânica dos fluidos/Fluxo laminar do líquido ideal

Quando o fluido pode ser aproximado pelo modelo do líquido ideal, o fluxo é sempre laminar e as equações de Euler podem ser usadas no lugar das equações de Navier-Stokes. Nessas condições, uma solução analítica pode ser encontrada para diversos problemas.

== Fluxo em um tubo curvo ==

Consideremos um duto curvo, de seção retangular h<sub>0</sub> x w<sub>0</sub> e raio interno de curvatura r<sub>0</sub>, em posição horizontal. Se h<sub>0</sub> for suficientemente pequeno, a velocidade v pode ser considerada constante ao longo da seção transversal do duto. O uso da equação de Euler relativa à componente normal à linha de corrente resulta em


<center><math>\rho \frac{v^2}{r} \;=\; \frac{\partial p}{\partial n} \;+\; \rho g \frac{\partial z}{\partial n} \Rightarrow \;\;\; \rho \frac{v^2}{r} \;=\; \frac{\partial p}{\partial n} \;=\; \frac{dp}{dr}</math></center>


Integrando,


<center><math>dp \;=\; \frac{\rho v^2 dr}{r} \Rightarrow \;\;\; \int_{p1}^{p2} dp \;=\; \int_{r0}^{r0 \;+\; h0} \frac{\rho v^2 dr}{r} \Rightarrow \;\;\; p_2 \;-\; p_1 \;=\; \rho v^2 \; \ln \left( \frac{r_0 \;+\; h_0}{r_0} \right)</math></center>


<center><math>v \;=\; \sqrt{ \frac{p_2 \;-\; p_1}{\rho \ln \left( \frac{r_0 \;+\; h_0}{r_0} \right)}}</math></center>


A equação acima relaciona a velocidade do fluxo com a diferença de pressão nas paredes interna e externa à curva. Essas pressões podem ser medidas, proporcionando uma medida da velocidade do fluxo no duto.

== Fluxo sob uma comporta ==

Consideremos uma comporta de seção retangular de altura h<sub>0</sub> na parte inferior de uma parede vertical, com água até a altura h<sub>w</sub>. A equação de Bernoulii nos dá


<center><math>\frac{v_i^2}{2} \;+\; \frac{p_i}{\rho} \;+\; g z_i \;=\; \frac{v_f^2}{2} \;+\; \frac{p_f}{\rho} \;+\; g z_f</math></center>


Se escolhermos a linha de corrente que fica na superfície da água, teremos, trabalhando com pressões manométricas,


<center><math>\frac{v_i^2}{2} \;+\; \frac{0}{\rho} \;+\; g h_w \;=\; \frac{v_f^2}{2} \;+\; \frac{0}{\rho} \;+\; g h_0 \Rightarrow \;\;\; v_f \;=\; \sqrt{ 2 g (h_w \;-\; h_0) \;+\; v_i^2}</math></center>


Se escolhermos a linha de corrente que fica no fundo da água, teremos


<center><math>\frac{v_i^2}{2} \;+\; \frac{\rho g h_w}{\rho} \;+\; 0 \;=\; \frac{v_f^2}{2} \;+\; \frac{\rho g h_0}{\rho} \;+\; 0 \Rightarrow \;\;\; v_f \;=\; \sqrt{ 2 g (h_w \;-\; h_0) \;+\; v_i^2}</math></center>


Ou seja, o resultado independe de qual linha de corrente for escolhida.

== Fluxo ao redor de uma asa de avião ==
{{wikipedia|Asa (aviação)}}

A equação de Bernoulli é válida para fluidos incompressíveis e com viscosidade nula. O caso do fluxo de ar ao redor da asa de um avião pode ser analisado através dessas equações, contanto que a velocidade não seja muito elevada (tipicamente abaixo de mach = 0.3). Neste caso, o ar pode ser considerado incompressível. O referencial mais conveniente a usar não é a terra, e sim o corpo do avião; se a velocidade for constante, esse referencial é inercial. Para um observador no solo, o fluxo não poderia ser considerado como de regime permanente.



A uma altitude de 1000 m, a temperatura é de cerca de 280 K, e a velocidade do som, 336 m/s. O avião poderia então mover-se, em relação ao ar, a uma velocidade de até 0.3 · 336 m/s = 112 m/s, e a equação de Bernoulli continuaria sendo válida. Tomando como referência uma linha de corrente que ataque frontalmente a asa no ponto A e passe por cima dela, teremos


<center><math>\frac{v_{ar}^2}{2} \;+\; \frac{p{ar}}{\rho} \;+\; g z_A \;=\; \frac{v_A^2}{2} \;+\; \frac{p_A}{\rho} \;+\; g z_A  \;=\; \frac{v_B^2}{2} \;+\; \frac{p_B}{\rho} \;+\; g z_B  </math></center>


onde B é um ponto qualquer na superfície superior da asa. Obviamente, v<sub>ar</sub> é a velocidade do avião com relação ao ar. Como v<sub>A</sub> = 0, a pressão p<sub>A</sub> será a pressão de estagnação.


<center><math>p_A \;=\; p{ar} \;+\; \frac{\rho v_{ar}^2}{2}</math></center>


A pressão estática no ponto B será dada por


<center><math>p_B \;=\; p{ar} \;+\; \frac{\rho (v_{ar}^2 \;-\; v_B^2)}{2}</math></center>


Similarmente, se escolhermos uma linha de corrente que passe por baixo da asa, teremos, num ponto C localizado na superfície inferior


<center><math>p_C \;=\; p{ar} \;+\; \frac{\rho (v_{ar}^2 \;-\; v_C^2)}{2}</math></center>


E a diferença de pressões que atua verticalmente sobre a asa será


<center><math>\Delta p \;=\; p_C \;-\; p_B \;=\; \frac{\rho (v_B^2 \;-\; v_C^2)}{2}</math></center>


A asa deve ser desenhada de forma que v<sub>C</sub> < v<sub>B</sub> de forma a termos p<sub>C</sub> > p<sub>B</sub>. Assim, a asa sofrerá a ação de uma força ascendente. O desenho mostra que a velocidade do fluxo na parte superior da asa é mais alta, uma vez que as linhas de corrente são mais próximas.



<noinclude>

{{AutoCat}}
</noinclude>