Mostrar código-fonte de Matemática elementar/Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras

Tomemos dois conjuntos <math>X\!\,</math> e <math>Y\!\,</math>. Digamos que o primeiro seja um conjunto de crianças e o segundo é de mulheres adultas. Seja ''f'' a função que leva cada criança ''x'' do conjunto ''X'' na sua mãe ''y = f(x)'' do conjunto ''Y''.

* Se houver ao menos uma criança no conjunto <math>X\!\,</math> que não seja filha de uma mulher do conjunto <math>Y\!\,</math>, então esta relação não consiste em uma função.

* Se houver ao menos uma criança no conjunto <math>X\!\,</math> que seja filha de mais de uma mulher do conjunto <math>Y\!\,</math>, então esta relação também não consiste em uma função.

*Se no conjunto ''X'' não houver nenhum par de irmãos, ou seja, as mulheres do conjunto ''Y'' tem apenas um filho ou nenhum filho, então temos que para ''a'' e ''b'' crianças diferentes do conjunto ''X'', as suas mães ''f(a)'' e ''f(b)'' são diferentes. Neste caso, a função é '''injetora'''.

*Se o conjunto ''Y'' for formado apenas de mães, ou seja, não há mulheres sem filho em ''Y'', então qualquer que seja a mãe ''m'' do conjunto ''Y'' existe alguma criança ''c'' tal que ''f(c) = m'' (ou seja, ''m'' é a mãe de ''c''). Neste caso, a função é '''sobrejetora'''.

*Se não houver irmãos em ''X'', e o conjunto ''Y'' for formado de mães, então existe uma correspondência perfeita entre crianças e suas mães, ou seja, toda criança tem só uma mãe e toda mulher tem só um filho. A função ''f'' é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora, ou seja, é '''bijetora'''.

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Image:Injection.png|Função Injetora e não sobrejetora
Image:Surjection.png|Função Sobrejetora e não injetora
Image:Bijection.svg|Função Bijetora
</gallery>

*Resumindo:
**'''Função Injetora''' (ou '''função injetiva''', ou uma '''injeção''') é aquela na qual dois elementos diferentes no domínio correspondem sempre a elementos diferentes no contra-domínio.
**'''Função sobrejetora''' (ou '''função sobrejetiva''' ou uma '''sobrejeção''') é aquela na qual o contra-domínio é igual à imagem, ou seja, cada elemento do contradomínio é correspondido por ao menos um do domínio.
**'''Função bijetora''' (ou '''função bijetiva''' ou uma '''bijeção''') é aquela na qual para cada elemento no domínio corresponde a um único elemento no contradomínio, e cada elemento no contradomínio corresponde a um único do domínio.

No restante do texto, serão estudadas funções numéricas, ou seja, funções entre conjuntos de números reais.

==Domínio finito==
Quando o domínio da função é finito, a forma mais prática de verificar se a função é injetora, sobrejetora ou bijetora é calcular diretamente ''f(x)'' para cada ponto do domínio, e verificar:
* se existem ''x'' e ''y'' diferentes com ''f(x) = f(y)'', então a função não é injetora
* se existe algum ''y'' no contra-domínio que ''ficou de fora'', ou seja, para o qual não existe ''x'' com ''f(x) = y'', então a função não é sobrejetora

=== Exemplo ===
Seja ''A = { -2, -1, 0, 1, 2}'', ''B = {0, 1, 2, 3, 4}'', ''C = {0, 1, 4}'', ''D = {0, 1, 2}'' e as funções:
* <math>e: B \to C\,</math> dada por ''k(x) = 1''
* <math>f: D \to B\,</math> dada por ''g(x) = x<sup>2</sup>''
* <math>g: A \to C\,</math> dada por ''h(x) = x<sup>2</sup>''
* <math>h: A \to B\,</math> dada por ''f(x) = x + 2''
Então:
* ''e'' não é injetora, porque ''e(0) = e(1)''. ''e'' também não é sobrejetora, porque não existe ''x'' tal que ''e(x) = 0''.
* ''f'' não é sobrejetora, porque não existe ''x'' tal que ''f(x) = 2''. Mas ''f'' é injetora: a única forma de ''f(x)'' ser igual a ''f(y)'' é quando ''x = y'', como pode ser visto listando os pares ordenados de ''f'': ''{(0, 0), (1, 1), (2, 4)}''.
* ''g'' não é injetora, porque ''g(-1) = g(1)''. Mas ''g'' é sobrejetora, porque para todo elemento ''y'' de ''C'' existe um elemento (pode haver mais de um) ''x'' de ''A'' com ''g(x) = y''. Isto pode ser visto também listando os pares de ''g'': ''{(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}''. Outra forma de ver que ela é sobrejetora é observar que a imagem de ''g'' é o conjunto ''{0, 1, 4}'', igual ao contra-domínio ''C''.
* ''h'' é injetora, porque se ''h(x) = h(y)'', então ''x + 2 = y + 2'' logo ''x = y''. ''h'' também é sobrejetora, porque para todo elemento ''y'' de ''B'' existe um ''x'' de ''A'' com ''h(x) = y''. De fato, isto pode ser visto enumerando-se os pares de ''h'', ou observando-se que a imagem de ''h'' é o conjunto ''B''.

=== Casos particulares ===
Alguns casos particulares para funções <math>f: A \to B\,</math>, em que ''A'' e ''B'' são conjuntos finitos de números
* Se ''f'' é injetora, então ''A'' não tem mais elementos que ''B''
* Se ''f'' é sobrejetora, então ''A'' não tem menos elementos que ''B''
* Se ''f'' é bijetora, então ''A'' tem tantos elementos quanto ''B''
* Se ''f'' é uma função do primeiro grau, ''f(x) = a x + b'', com ''a ≠ 0'', então ''f'' é injetora.

Deve-se notar que estas regras não são suficientes para resolver todos os casos, por exemplo a função <math>f: A \to B\,</math> dada por ''f(x) = x<sup>2</sup>'', em que ''A = {-1, 1}'' e ''B = {0, 1}'' não é nem injetora nem sobrejetora.

==Domínio e contra-domínio real==
Neste caso temos uma função <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\,</math>.

Alguns casos particulares:
* Se ''f'' é uma função do primeiro grau, ''f(x) = a x + b'', com ''a ≠ 0'' então ''f'' é bijetora.
* Se ''f'' é uma função do segundo grau, ''f(x) = a x<sup>2</sup> + b x + c'', com ''a ≠ 0'', então ''f'' não é injetora nem sobrejetora.

Em outros casos, deve-se procurar desenhar o gráfico da função.

=== Exemplo ===
[[Imagem:1 d xinter.svg|Gráfico da função y = (x - 1)(x - 2)(x - 3)|350px]]
Considere a função <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\,</math> dada por ''f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)''.

Obviamente, pelo gráfico é fácil ver que esta função não é injetiva. Pela equação também é fácil, já que ''f(1) = f(2) = f(3) = 0''.

Esta função é sobrejetiva. Este fato e sugerido pelo gráfico, apesar deste mostrar apenas parte do conjunto imagem.

==Domínio e contra-domínio intervalos de números reais==
Neste caso temos uma função <math>f: \mathbb{A} \to \mathbb{B}\,</math>, em que ''A'' e ''B'' podem ser toda a reta real, intervalos finitos ou intervalos infinitos.

A única regra especial é:
* Se ''f'' é uma função do primeiro grau, ''f(x) = a x + b'', com ''a ≠ 0'' então ''f'' é injetora.

== Ver também==
Artigos na wikipedia:
* {{w|Função injetiva}}
* {{w|Função sobrejetiva}}
* {{w|Função bijetiva}}

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