Mostrar código-fonte de Análise real/Variação total


==Oscilação==
Seja <math>f:D\to\mathbb{R}\,</math> uma função real. Definimos a oscilação de <math>f\,</math> em um intervalo <math>[a,b]\,</math> contido em <math>D\,</math> como:
*<math>\hbox{osc}_{[a,b]}(f):=\sup_{[a,b]}f(x)-\inf_{[a,b]}f(x)\,</math>

===Propriedades===
*Se <math>f\,</math> é um função não decrescente, então:
:<math>\hbox{osc}_{[a,b]}(f)=f(b)-f(a)\,</math>

*Se <math>f\,</math> é um função não crescente, então:
:<math>\hbox{osc}_{[a,b]}(f)=f(a)-f(b)\,</math>

==Variação em uma partição==
Seja <math>f:D\to\mathbb{R}\,</math> uma função real. Definimos a variação de <math>f\,</math> em um partição <math>P:=\left\{x_0:=a,x_1,x_2,\ldots,x_{n-1},x_n:=b\right\}\,</math> de um intervalo <math>[a,b]\,</math> contido em <math>D\,</math> como:
*<math>\hbox{var}_{P}(f):=\sum_{i=1}^n \left|f(x_i)-f(x_{i-1})\right|\,</math>

===Propriedades===
'''1.''' Seja '''P''' uma partição cujos extremos são <math>x_0=a\,</math> and <math>x_n=b\,</math> e seja <math>f:D\to\mathbb{R}\,</math> uma função real definida em um domínio <math>D\supset[a,b]\,</math> então:
:<math>\hbox{var}_{P}(\alpha f)=|\alpha|\hbox{var}_{P}(f),~~ \forall \alpha\in\mathbb{R}\,</math>
;Demonstração
Imediato da definição.

'''2.''' Seja '''P''' uma partição cujos extremos são <math>x_0=a\,</math> and <math>x_n=b\,</math> e seja <math>f:D\to\mathbb{R}\,</math> uma função monótona definida em um domínio <math>D\supset[a,b]\,</math> então:
:<math>\hbox{var}_{P}(f)=\left|f(a)-f(b)\right|\,</math>
;Demonstração:
Considere, sem perda de generalidade, que <math>f\,</math> é uma função crescente, da definição de variação temos:
:<math>\hbox{var}_{P}(f):=\sum_{i=1}^n \left|f(x_i)-f(x_{i-1})\right|\,</math>
Como <math>x_i\geq x_{i-1}\,</math>, temos que <math>\left|f(x_i)-f(x_{i-1})\right|=f(x_i)-f(x_{i-1})\geq 0\,</math>, logo:
:<math>\hbox{var}_{P}(f):=\sum_{i=1}^n f(x_i)-f(x_{i-1})=f(x_n)-f(x_0)=f(b)-f(a)=\left|f(a)-f(b)\right|\,</math>

'''3.''' Seja '''P''' uma partição cujos extremos são <math>x_0=a\,</math> and <math>x_n=b\,</math> e sejam <math>f:D\to\mathbb{R}\,</math> e <math>g:D\to\mathbb{R}\,</math> funções reais definidas em um domínio <math>D\supset[a,b]\,</math> então:
:<math>\hbox{var}_{P}(f+g)\leq \hbox{var}_{P}(f)+\hbox{var}_{P}(g)\,</math>
;Demonstração:
:<math>\begin{array}{rcl}
\hbox{var}_{P}(f+g)&:=&\sum_{i=1}^n \left|f(x_i)+g(x_1)-f(x_{i-1})-g(x_{i-1)}\right|\\ &\leq& \sum_{i=1}^n\left(\left|f(x_i)-f(x_{i-1})\right|+\left|g(x_i)-g(x_{i-1})\right|\right)\\
&=&\hbox{var}_{P}(f)+\hbox{var}_{P}(g)
\end{array}
\,</math>


'''4.''' Seja '''P''' uma partição cujos extremos são <math>x_0=a\,</math> and <math>x_n=b\,</math> e <math>f:D\to\mathbb{R}\,</math> uma função real definida em um domínio <math>D\supset[a,b]\,</math> então, se '''P'''' é um refinamento de '''P'''
:<math>\hbox{var}_{P}f\leq \hbox{var}_{P'}(f)\,</math>
;Demonstração:
Sem perda de generalidade, considere que '''P'''' é um refinamento de '''P''' pela inclusão de um único ponto <math>x_{k-1}\leq x'\leq x_{k}\,</math>. Como a seguinte desigualdade é válida:
:<math>\left|f(x_{k-1})-f(x_{k})\right|\leq \left|f(x_{k-1})-f(x')\right|+\left|f(x')-f(x_{k})\right|\,</math>
o resultado segue.

==Variação total==
Seja <math>f:D\to\mathbb{R}\,</math> uma função real. Definimos a variação de <math>f\,</math> em um intervalo <math>[a,b]\,</math> contido em <math>D\,</math> como:
*<math>\hbox{var}_{[a,b]}(f):=\sup_{P\in\mathbb{P}}\hbox{var}_P(f)\,</math>
O supremo é tomado em <math>\mathbb{P}\,</math>, o conjunto de todas as possíveis partições de <math>[a,b]\,</math>.

===Propriedades===
As seguintes propriedades são de demonstração imediata, aparir da definição de supremo e das propriedades já demonstradas para a variação em uma partição.

'''1.''' Se <math>f\,</math> é um função monótona, então:
:<math>\hbox{var}_{[a,b]}(f)=\left|f(a)-f(b)\right|\,</math>
'''2.''' Se <math>f\,</math> uma função real, então:
:<math>\hbox{var}_{[a,b]}(f)\geq \hbox{var}_{[c,d]}(f)\,</math>, sempre que <math>a\leq c\leq d\leq b\,</math>.
'''3.''' Se <math>f\,</math> e <math>g\,</math> são funções reais, vale
:<math>\hbox{var}_{[a,b]}(f+g)\leq \hbox{var}_{[a,b]}(f)+\hbox{var}_{[a,b]}(g)\,</math>,
'''4.''' Se <math>f\,</math> uma função real, então:
:<math>\hbox{var}_{[a,b]}(\alpha f)= |\alpha|\hbox{var}_{[a,b]}(f),~~\forall~\alpha\in\mathbb{R}\,</math>,
'''5.''' Se <math>f\,</math> uma função real, então:
:<math>\hbox{var}_{[a,c]}(f)= \hbox{var}_{[c,b]}(f)+\hbox{var}_{[b,c]}(f),~~\forall~c\in[a,b]\,</math>,

==Função de variação limitada==
Diz-se que uma função real <math>f:D\to\mathbb{R}\,</math> é de '''variação limitada'''  em um intervalo <math>[a,b]\,</math> se e somente se:
:<math>\hbox{var}_{[a,b]}(\alpha f)\leq \infty\,</math>

===Teorema===
Seja <math>f:D\to\mathbb{R}\,</math> uma função de classe <math>C^1[a,b]\,</math>, então:
:<math>\hbox{var}_{[a,b]}(f)=\int_a^b |f'(x)|dx\,</math>
;Demontração:

Primeiro observamos que se <math>P\,</math> é uma partição do intervalo <math>[a,b]\,</math>, podemos escrever, usando o teorema do valor médio:
:<math>\hbox{var}_{P}{f}=\sum_{i=1}^n\left|f(x_i)-f(x_{i-1})\right|=\sum_{i=1}^n\left|f'(x_i^*)\right|(x_i-x_{i-1}),~~~x_i^*\in (x_{i-1},x_i)\,</math>

Da definição de variação total, podemos inferir a existência de uma seqüência de partições <math>P_k=\left(x_0^k,x_1^k,\ldots,x_{n_k}^k\right),\,</math> tal que:
:<math>0\leq \hbox{var}_{[a,b]}(f)-\hbox{var}_{P_k}(f)\leq 1/k\,</math>
Como a variação não decresce com o refino da partição, pode supor que comprimento das partições <math>P_k\,</math> está convergindo para zero. Assim:
:<math>\hbox{var}_{[a,b]}(f)=\lim_{k\to\infty}\hbox{var}_{P_k}(f)=\lim_{k\to\infty}\sum_{i=1}^{n_k}\left|f'(x_i^k*)\right|(x_i^k-x_{i-1}^k)=\int_{a}^b |f'(x)|dx\,</math>

===Teorema===
Uma função é de variação limitada se e somente se pode ser escrita como a diferença de duas funções não decrescentes.
;Demontração
'''a.'''Seja <math>f:D\to\mathbb{R}\,</math> uma função de variação limitada em <math>D\,</math>. Define-se a função <math>F:D^2\to\mathbb{R}\,</math> da seguinte forma:
:<math>F(x_0,x)=\left\{
\begin{array}{ll}
\hbox{var}_{[x_0,x]}(f),&x_0\leq x\\
-\hbox{var}_{[x_0,x]}(f),&x_0> x\\
\end{array}
\right.
\,</math>
Fixando um <math>x_0\in D\,</math> é uma função não decrescente em <math>x\,</math>.

Agora define-se:
:<math>
\begin{array}{l}
p(x)=\frac{1}{2}\left[F(x_0,x)+f(x)\right]\\~\\
q(x)=\frac{1}{2}\left[F(x_0,x)-f(x)\right]
\end{array}
</math>.

É fácil ver que <math>f(x)=p(x)-q(x)\,</math>. Resta-nos provar que tanto <math>p(x)\,</math> como <math>q(x)\,</math> são funções não decrescentes. Para tal, seja <math>y>x\,</math> e fazemos a seguinte estimativa:
:<math>
\begin{array}{rcl}
p(y)-p(x)&=&\frac{1}{2}\left[F(x_0,y)+f(y)\right]-\frac{1}{2}\left[F(x_0,x)+f(x)\right]\\
&=&\frac{1}{2}\left[F(x_0,y)-F(x_0,x)\right]+\frac{1}{2}\left[f(y)-f(x)\right]\\
&=&\frac{1}{2}\left[\hbox{var}_{[y,x](f)}\right]+\frac{1}{2}\left[f(y)-f(x)\right]\geq 0
\end{array}
</math>
Da penúltipla para a última linha usamos <math>F(x_0,y)-F(x_0,x)=\hbox{var}_{[x_0,y](f)}-\hbox{var}_{[x_0,x](f)}=\hbox{var}_{[x,y](f)}</math> e depois observamos que <math>\hbox{var}_{[x,y](f)}\geq \left|f(x)-f(y)\right|</math>.

A demontração sendo perfeitamente análoga para a função <math>q(x)\,</math>, o resultado segue.

==Existência de uma função contínua que não é de variação limitada==
Considere a função:
:<math>f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
x\cos\left(\frac{\pi}{x}\right),&x\neq 0\\
0,&x =0
\end{array}
\right.</math>
Esta função não é de variação limitada no intervalo <math>[0,1]\,</math>. Para provar isso considere o seguintes pontos:
:<math>x_n=\frac{1}{n+1},\quad f(x_n)=\frac{1}{n+1}(-1)^{n},n=0,1,2,\ldots\,</math>
Assim
:<math>\left|f(x_n)-f(x_{n-1})\right|=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}>1/n, n=1,2,3,\ldots\,</math>
Portanto, <math>\hbox{var}_{[0,1]}(f)\geq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty\,</math>

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