Mostrar código-fonte de Álgebra linear/Sistemas de equações lineares

Este estudo de álgebra linear começará com a análise dos '''sistemas de equações lineares'''. Tais sistemas aparecem frequentemente em [[w:matemática aplicada|matemática aplicada]], [[w:Economia|economia]] e [[w:Engenharia|engenharia]] ao modelar certos fenômenos. Por exemplo, em [[w:programação linear|programação linear]], geralmente é discutido como maximizar o lucro quando existem certas ''restrições'' relacionadas a dificuldade, disponibilidade de tempo, ou outras condições. Estas restrições podem ser colocadas na forma de um sistema de equações lineares.

{{Wikipedia|Sistema de equações lineares}}
{{CaixaMsg|tipo=dica|style=align:left; width:60%; border:1px solid #aaa; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
Mesmo que o leitor já tenha estudado o conteúdo deste capítulo, é interessante fazer uma leitura deste módulo para relembrar os principais conceitos e definições, além de se familiarizar com as notações que serão utilizadas neste [[Wikibooks:Sobre|wikilivro]]. O assunto será retomado posteriormente, quando for tratada a relação entre matrizes e sistemas lineares, no capítulo "{{busca|Álgebra linear/Eliminação gaussiana|eliminação gaussiana}}".
}}

== Equações lineares ==

{{Wikipedia|Equação linear}}
Uma '''equação linear''' é uma [[w:equação|equação]] composta exclusivamente de [[w:Adição|adições]] e [[w:Subtração|subtrações]] de termos que são [[w:Constante matemática|constantes]] ou o [[w:Multiplicação|produto]] de uma constante pela primeira [[w:Potenciação|potência]] de uma [[w:Variável|variável]].

Conforme a natureza do problema que dá origem a equação, as constantes e as variáveis podem ser números [[w:Número inteiro|inteiros]], [[w:Número real|reais]], [[w:Número complexo|complexos]] ou ter uma estrutura ainda mais geral (veja, por exemplo, um artigo sobre "[[w:Teoria dos corpos|corpos]]" na [[w:|Wikipédia]]). No caso dos números inteiros, chama-se a equação de "[[w:Equação diofantina|equação linear diofantina]]", e seu estudo é feito na [[teoria de números]].

Neste [[Wikibooks:Sobre|Wikilivro]], será considerado que as constantes e as variáveis de uma equação linear são elementos de um [[w:Subcorpo|subcorpo]] <math>F</math> do ''corpo dos números complexos''. Os elementos de <math>F</math> serão chamados de ''escalares''. Para a maior parte do texto, o leitor não familiarizado com corpos e outras estruturas algébricas pode admitir que os escalares são os números complexos.

{{CaixaMsg|tipo=dica|style=width:100%;border:1px solid #aaa;|texto=
'''Sugestões de leitura'''
* Para uma breve discussão sobre o uso de outros tipos de ''escalares'' no contexto da álgebra linear, recomenda-se a leitura da primeira seção do capítulo sobre equações lineares no livro "Linear Algebra", de [[../Bibliografia#Hoffman & Kunze (1971)|Hoffman & Kunze]].
* Se quiser saber mais sobre corpos e outras estruturas algébricas, será interessante consultar um livro específico de Álgebra. (Veja exemplos na [[../Bibliografia|bibliografia]])
}}

Uma caracterização mais formal do que se entende por "equação linear" é a seguinte:

{{Definição
|Uma '''equação linear em <math>n</math> variáveis sobre o corpo <math>F</math> ''' é uma equação que pode ser colocada na forma <math>a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + \ldots + a_nx_n = b</math>, sendo que os escalares <math>a_1, a_2, \ldots , a_n</math> são denominados '''coeficientes''', e <math>b</math> é chamado de '''termo independente''', ou '''termo constante'''.
}}

Cada equação linear pode ser vista como uma igualdade entre [[w:Zero|zero]] e um [[w:Polinómio|polinômio]] do primeiro grau em várias variáveis, uma vez que:

<math>a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + \ldots + a_nx_n = b\ \Leftrightarrow</math><math>\ a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + \ldots + a_nx_n - b\ =\ 0</math>

{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:100%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
'''Exemplos:'''
<ul>
<li><math>x + 3y = -4</math>
<br>
Nesta equação, as variáveis são <math>x</math> e <math>y</math>, e o termo constante é <math>-4</math>.</li>
<li><math>7x_1 = 15\imath + x_2 - (10+2\imath)x_3</math>
<br>
Aqui, aparece uma equação que não está na "forma padrão". Pode-se reescrevê-la como <math>7x_1 - x_2 + (10+2\imath)x_3 = 15\imath</math>.</li>
<li><math>\frac{1}{\sqrt{2}} z\ = \pi</math>
<br>
Neste último exemplo aparece apenas a variável <math>z</math>, com coeficiente <math>\frac{1}{\sqrt{2}}</math>. O termo constante é <math>\pi</math>.</li>
</ul>
}}

Como foi ressaltado no exemplo, para uma equação ser chamada de "linear", ela não precisa necessariamente estar com todas as variáveis no membro esquerdo da equação, embora seja usual escrevê-la assim. Como será visto posteriormente, usando essa convenção é possível simplificar a resolução de ''sistemas de equações lineares'' (veja adiante), introduzindo o conceito de matriz.

== Soluções de uma equação linear ==

{{Definição
|Uma ''solução'' da equação linear <math>a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + \ldots + a_nx_n = b</math> é uma [[w:Enupla|<math>n</math>-upla]] (um vetor) <math>s=(s_1, s_2, \ldots s_n)</math>, cujas entradas <math>s_j</math> podem ser colocadas no lugar de cada <math>x_j</math>, para <math>j=1, \ldots, n</math>, de modo que a igualdade seja verdadeira. O ''conjunto solução'' de uma equação linear é aquele formado por ''todas'' as suas soluções.
}}

Por exemplo, <math>(-1,-1)</math> é uma solução da equação linear <math>x + 3y = -4</math>, uma vez que <math>(-1) + 3 \times (-1) = -1 + (-3) = -4</math>, mas <math>(1,5)</math> não.

No caso em que a quantidade de variáveis em uma equação linear é menor ou igual a três, pode-se associar ''ao seu conjunto solução'', uma interpretação geométrica. Acompanhe os exemplos a seguir:

[[Image:FuncionLineal02.svg|thumb|Representação gráfica de duas equações lineares]]

{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:75%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
<ul>
<li>Se <math>n</math> é igual a 2, a equação linear tem como correspondente geométrico uma ''linha reta''. Por exemplo:
<ul>
<li><math>y\ =\ -x+5</math> pode ser representada pela reta que passa pelos pontos <math>(0,5)</math> e <math>(5,0)</math>.</li>
<li><math>y\ =\ \frac{1}{2}x +2</math> corresponde a reta que contém os pontos <math>(-4,0)</math> e <math>(2,3)</math>.<br>Observe que o ponto <math>(2,3)</math> também está na reta dada pela primeira equação (veja a figura).</li>
</ul>
<li>Se <math>n</math> for 3, o conjunto solução é representado geometricamente como um ''plano'' no espaço tridimensional. Por exemplo:
<ul>
<li>Os pontos <math>(x,y,z)</math> que são soluções da equação linear <math>x+y+z=1</math> estão todos sobre o [[w:Plano (geometria)|plano]] definido por <math>A=(1,0,0)</math>, <math>B=(0,1,0)</math> e <math>C=(0,0,1)</math>.</li>
</ul>
</li>
</ul>
}}

Pode-se generalizar a relação entre equações lineares e geometria para o caso em se tem um número arbitrário de variáveis. No entanto, nessa situação não é possível visualizar a "forma geométrica" que corresponde às soluções da equação. O termo utilizado para descrever a forma geométrica correspondente ao conjunto solução de uma equação a <math>n</math> variáveis é '''[[w:Hiperplano|hiperplano]] afim, de dimensão <math>n</math>'''. Neste texto, no entanto, será usado simplesmente a terminologia ''<math>n</math>-plano''.

== Sistemas de equações lineares ==

{{Definição
|Um '''sistema de equações lineares''' (ou '''[[Matemática elementar/Sistemas lineares|sistema linear]]''') é uma coleção de equações lineares envolvendo o mesmo conjunto de variáveis.
}}

Um sistema geral de <math>m</math> equações lineares com <math>n</math> incógnitas (ou variáveis) pode ser escrito como

<math>\left\{\begin{matrix}
a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\
a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\
\vdots \\
a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n = b_m \\
\end{matrix}\right.</math>

Aqui, <math>x_1,\ x_2,...,x_n</math> são as incógnitas, <math>a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}</math> são os ''coeficientes'' do sistema, e <math>b_1,\ b_2,...,b_m</math> são os termos constantes.

A "chave" colocada à esquerda das equações é uma forma de lembrar que todas as equações devem ser consideradas em conjunto. A seguir são apresentados alguns exemplos de equações lineares.

{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:100%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
'''Exemplos:'''
*<math>\left\{\begin{matrix}
3x & + & 2y & - & z & = & 1\\
2x & - & 2y & + & 4z & = & -2 \\
-x & + & \tfrac{1}{2} y & - & z & = & 0 
\end{matrix}\right.</math> é um sistema de três equações, nas variáveis <math>x, y</math> e <math>z</math>.
*<math>\left\{\begin{matrix}
x_1 & + & x_2 & = & 2\\
-x_1 & + & x_2 & = & 3 \\
x_1 & + & x_2 & = & 0 
\end{matrix}\right.</math> é um sistema de três equações e duas variáveis <math>x_1</math> e <math>x_2</math>.
*<math>\left\{\begin{matrix}
\alpha & - & 2\beta & - & 3\gamma & = & 0\\
\end{matrix}\right.</math> é um sistema linear formado por uma única equação e três variáveis <math>\alpha, \beta</math> e <math>\gamma</math>.
}}

==Soluções de sistemas lineares==

{{Definição
|Uma '''solução de um sistema linear''' é uma <math>n</math>-upla de valores <math>s=(s_1,s_2,....,s_n)</math> que simultâneamente satisfazem ''todas'' as equações do sistema.
}}

[[Image:Secretsharing-3-point.png|thumb|right|Cada equação de um sistema linear em três variáveis determina um [[w:Plano (geometria)|plano]]. Uma solução do sistema corresponde a um ponto na interseção desses planos]]
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:75%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
'''Exemplo:'''
Considere os sistemas de equações lineares apresentados acima.
* <math>\left\{\begin{matrix}
3x & + & 2y & - & z & = & 1\\
2x & - & 2y & + & 4z & = & -2 \\
-x & + & \tfrac{1}{2} y & - & z & = & 0 
\end{matrix}\right.</math> tem como sua solução <math>(1,-2,-2)</math>.
* <math>\left\{\begin{matrix}
x_1 & + & x_2 & = & 2\\
-x_1 & + & x_2 & = & 3 \\
x_1 & + & x_2 & = & 0 
\end{matrix}\right.</math> não tem qualquer solução, pois não existem números <math>x_1</math> e <math>x_2</math> cuja soma seja 2, e ao mesmo tempo seja nula.
* <math>\left\{\begin{matrix}
\alpha & - & 2\beta & - & 3\gamma & = & 0\\
\end{matrix}\right.</math>, embora seja formado por uma única equação linear, admite uma infinidade de soluções, todas da forma <math>(2\beta + 3\gamma , \beta, \gamma)</math>.
}}

A coleção de todas as possíveis soluções de um sistema linear será chamada de ''conjunto solução'', sendo geralmente denotado por <math>S</math>. Uma fórmula que descreva todos os vetores do conjunto solução é chamada de ''solução geral''. Dessa definição, decorre que o conjunto solução de um sistema linear é a [[w:Interseção|interseção]] entre os conjuntos soluções de cada equação do sistema (veja a figura).

Um sistema linear é dito ''consistente'' se possui alguma solução. Caso contrário, é chamado de ''inconsistente''.

Em geral, para qualquer sistema linear existem três possibilidades a respeito das soluções:
*'''Uma única solução:''' Neste caso, existe apenas uma solução específica (uma certa ''<math>n</math>-upla''). O conjunto <math>S</math> tem um único elemento. Geometricamente, isto implica que os <math>n</math>-planos determinados pelas equações do sistema se intersectam todos em um mesmo ponto do [[w:Espaço euclideano|espaço]], que é especificado pelas coordenadas da solução (as "entradas" da <math>n</math>-upla). O sistema é dito ''possível'' (''existe'' alguma solução) e determinado (existe uma ''única'' solução);
*'''Nenhuma solução:''' Nesta situação, não existe qualquer ''<math>n</math>-upla'' de valores que verifiquem simultaneamente ''todas'' as equações do sistema. O conjunto <math>S</math> é vazio. Geometricamente, os <math>n</math>-planos correspondentes as equações não se intersectam (são paralelos). O sistema é dito '''impossível''' (''não existe'' solução).
*'''Infinitas soluções:''' As equações especificam <math>n</math>-planos cuja intersecção é um <math>m</math>-plano onde <math>m\le n</math>. Sendo este o caso, é possível explicitar um conjunto <math>S</math> com infinitas soluções. O sistema é dito '''possível''' (''existe'' alguma solução) e '''indeterminado''' (sua quantidade é ''infinita'')

As seguintes figuras ilustram os casos acima:
<center>
{| border=0 cellpadding=5
|-
|width="260px" align="center"| [[Image:Intersecting Lines.svg|250px]]
|width="260px" align="center"| [[Imagem:Retas paralelas.png|250px]]
|width="260px" align="center"| [[Image:IntersectingPlanes.png|250px]]
|-
|align="center"| Uma única solução
|align="center"| Nenhuma solução
|align="center"| Infinitas soluções
|}
</center>

==Sistemas lineares equivalentes==
{{Definição
|Dois sistemas lineares são ditos ''equivalentes'' quando possuem o mesmo conjunto solução.
}}
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:100%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
'''Exemplos:'''
<ul>
<li>Considere o seguinte sistema linear:
<br><math>\left\{\begin{matrix}
x & = & 2\\
y & = & 3
\end{matrix}\right.</math> <span style="color:red"><code>(I)</code></span>
<br>Obviamente, existe um único par ordenado <math>(x,y)</math> que é solução de tal sistema. Seu conjunto solução é <math>S=\{ (2,3) \}</math>.</li>
<li>Sabendo que a segunda igualdade em <span style="color:red"><code>(I)</code></span> vale se, e somente se, é verdade que <math>-2y = -6</math>, pode-se concluir que as soluções do sistema acima são as mesmas do sistema
<br><math>\left\{\begin{matrix}
x & = & 2\\
-2y & = & -6
\end{matrix}\right.</math> <span style="color:red"><code>(II)</code></span></li>
<li>Além disso, todo par ordenado que satisfaz as equações deste último sistema, é também solução de
<br><math>\left\{\begin{matrix}
-2y & = & -6\\
x & = & 2
\end{matrix}\right.</math> <span style="color:red"><code>(III)</code></span>
<br>pois, logicamente, não faz diferença a ordem em que as equações aparecem em um sistema.</li>
<li>Uma outra equivalência, não tão imediata, é entre o sistema <span style="color:red"><code>(III)</code></span> e
<br><math>\left\{\begin{matrix}
  & - & 2y & = & -6 \\
x & - & 2y & = & -4
\end{matrix}\right.</math> <span style="color:red"><code>(IV)</code></span>
<br>Para ter certeza que ambos os sistemas são equivalentes, basta observar que se um par ordenado é solução do primeiro, então suas coordenadas verificam <math>-2y=-6</math> e <math>x=2</math>, por tanto (somando membro a membro), tem-se <math>x-2y=-4</math>.
<br>Reciprocamente, se <math>(x,y)</math> safisfaz <math>-2y=-6</math> e <math>x-2y=-4</math>, basta subtrair membro a membro, e obtem-se <math>x=2</math>.</li>
<li>Finalmente, pode-se facilmente perceber que o sistema anterior é equivalente a 
<br><math>\left\{\begin{matrix}
  & - & 2y & = & -6 \\
x & - & 2y & = & -4\\
-x & + & 2y & = & 4
\end{matrix}\right.</math> <span style="color:red"><code>(V)</code></span>
<br>pois as soluções da última equação são as mesmas da segunda.</li>
</ul>
}}
Nos exemplos anteriores, pode-se notar que todos os sistemas possuem o mesmo conjunto solução (são ''equivalentes''), embora no exemplo <span style="color:red"><code>(V)</code></span> a solução não esteja "tão evidente" como no caso de <span style="color:red"><code>(I)</code></span>.

Isso sugere uma estratégia para resolver sistemas lineares: para determinar o conjunto solução de um sistema linear arbitrário (por exemplo <span style="color:red"><code>(V)</code></span>), basta encontrar um outro sistema linear que lhe seja equivalente, mas cuja solução seja imediata (como o <span style="color:red"><code>(I)</code></span>, cuja solução é óbvia!).

Resta agora encontrar uma forma de produzir sistemas lineares equivalentes a um sistema dado, e que sejam simples (senão imediatos!) de resolver. As técnicas usadas para este fim serão apresentadas na próxima seção. 
{{Ocultar ao imprimir|1=
{{CaixaMsg|tipo=pergunta|texto=
;Pense rápido...
<quiz display=simple>
{Se dois sistemas são equivalentes, é preciso que cada equação do primeiro seja equivalente a uma equação do segundo?
|type="()"}
- Sim
+ Não
- Depende dos sistemas em questão.

{É possível que dois sistemas sejam equivalentes sem que tenham o mesmo número de equações?
|type="()"}
+ Sim
- Não
</quiz>
}}}}

==Operações com equações==
Para um melhor entendimento das técnicas que podem ser utilizadas na resolução de sistemas lineares, serão sintetizadas no teorema a seguir as "operações" que podem ser feitas com as equações de um sistema, <u>sem que seu conjunto solução seja alterado</u>. Como será visto posteriormente, é possível determinar o conjunto solução de qualquer sistema linear (''resolver'' o sistema), usando apenas três "operações elementares".

{{Teorema
|Se um sistema linear é obtido a partir de outro, através de uma dessas operações
# Trocar a posição de duas equações;
# Trocar uma equação por um múltiplo (não nulo) de si mesma;
# Trocar uma equação pela soma de si mesma com um múltiplo de outra equação;
então ele possui as mesmas soluções que o sistema original.
}}

===Demonstração===
* Deixada a cargo do leitor. Sinta-se a vontade para acrescentá-la ao texto.

==Métodos para a resolução de sistemas lineares==
===Eliminação de variáveis===
Um método bastante simples para a resolução de um sistema linear é ''eliminar as variáveis'', uma após a outra. Este método consiste dos seguintes passos:
# Na primeira equação, isole uma das variáveis em função das outras.
# Substitua a expressão acima em cada uma das outras equações. Isso produz um outro sistema de equações, com uma equação a menos e uma variável a menos.
# Repita o passo anterior até que reste apenas uma equação linear.
# Resolva esta equação e use a resposta obtida para determinar as demais variáveis nas outras equações.

{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:100%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
Por exemplo, se o sistema linear for
:<math>\left\{\begin{alignat}{7}
 x &&\; + \;&& 3y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 5 & \\
3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 6z &&\; = \;&& 7 & \\
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 8 &
\end{alignat}\right.</math>
pode-se resolver a primeira equação em <math>x</math>, obtendo <math>x=5 + 2z - 3y</math> e usando essa expressão na segunda e terceira equações, segue:
:<math>\left\{\begin{alignat}{5}
-4y &&\; + \;&& 12z &&\; = \;&& -8 & \\
-2y &&\; + \;&&  7z &&\; = \;&& -2 &
\end{alignat}\right.</math>
Agora, se a primeira das duas equações for resolvida em <math>y</math>, obtem-se <math>y=2 + 3z</math>, que substituído na última equação fornece:
:<math>\left\{\begin{alignat}{7}
 x &&\; = \;&& 5 &&\; + \;&& 2z &&\; - \;&& 3y & \\
 y &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 3z &&       &&    & \\
 z &&\; = \;&& 2 &&       &&    &&       &&    &
\end{alignat}\right.</math>

Colocando <math>z=2</math> na segunda equação, tem-se <math>y=8</math> e usando esses valores na primeira equação segue que <math>x=-15</math>.

Portanto, o conjunto solução deste sistema consiste de um único ponto <math>\{(-15,8,2) \}</math>.
}}

{{CaixaMsg|tipo=dica|style=width:50%;border:1px solid #aaa; float:right; clear:right; margin-left: 10px;|texto='''Sugestão de leitura'''
* Veja na [[w:|Wikipédia]] os artigos sobre o ''[[w:Sistema de equações lineares#Método da soma|método da soma]]'' e a ''[[w:regra de Cramer|regra de Cramer]]''.
}}

Sabe-se que sistemas lineares em poucas variáveis também podem ser resolvidos usando outros métodos.

Observe, no entanto, que estas técnicas não são muito práticas ao lidar com sistemas grandes, onde exista um grande número de variáveis. Apesar disso, tais procedimentos podem ser generalizados, dando origem a algoritmos como a ''[[w:Eliminação de Gauss|eliminação de Gauss]]'' e a [[w:Eliminação de Gauss-Jordan|eliminação de Gauss-Jordan]], que pode ser usado em situações bem mais gerais.

O método da ''eliminação gaussiana'' será estudado em um {{Busca|Álgebra linear/Eliminação gaussiana|capítulo posterior}}.

Muitas vezes é preciso resolver vários sistemas lineares que diferem apenas em seus termos constantes. Os coeficientes das incógnitas permanecem os mesmos. Uma técnica chamada de ''[[w:Decomposição LU|decomposição LU]]'' é usada nestes casos. Em situações muito particulares, ela adminte uma variante conhecida como ''[[w:Fatoração de Cholesky|fatoração de Cholesky]]''. Tais técnicas serão estudadas nos últimos capítulos.

== Exercícios ==

Este capítulo é apenas uma revisão. Não há exercícios.

{{medalha|tipo=página}}
{{AutoCat}}

[[en:Linear Algebra/Systems of linear equations]]